Чи є проста гра з асиметричною складністю?

Розгляньте повну інформацію двокористувацьких комбінаторних ігор, які закінчуються після поліноміального числа ходів, і, по черзі, гравці вибирають із обмеженої кількості дозволених ходів. Звичайне питання полягає в тому, наскільки важко сказати переможцю з певної позиції. Іншим було б, як важко вибрати виграшну ходу з виграшної позиції. (Тут я називаю хід виграшним, якщо позиція залишається виграшною після її відтворення.) Для розмежування я зателефоную колишній ПОЗИЦІЙНО-КОМПЛЕКСІТНОСТІ, а другий ПОВЕРХНЯЙТЕ КОМПЛЕКСНОСТІ.

Неважко помітити, що якщо ПЕРЕМОГА КОМПЛЕКСІЙНОСТІ знаходиться в або , то так це ПОЗИЦІЯ-КОМПЛЕКСІСТЬ - ми можемо обчислити оптимальні ходи і перевірити, хто виграє в кінці. (Я не дуже роздумував над тим, що трапиться, якщо ПЕРЕМОГА КОМПЛЕКСІСТЬ знаходиться в , ймовірно, ПОЛОЖЕННЯ-КОМПЛЕКСІСТЬ є чимось на зразок .) Однак, є манекенні приклади, коли ПІДХОДЖЕННЯ-КОМПЛЕКСІСТЬ тривіальна і ПОЗІЦІЯ -COMPLEXITY довільний важкий - як (не дуже цікава) гра перевірки того, що є результатом алгоритму, і гравцям, які роблять наступні кроки, дозволяється лише один хід. Я трохи відступився, моє головне питання наступне. $P$ $PSPACE$ $NP$ $P^{NP}$

Чи існує природна гра, де РУХ-СКЛАДНІСТЬ двох гравців відрізняється?

Наприклад, гра, у якій перший гравець вибирає значення змінних CNF (які можуть не мати рішення), а другий гравець намагається вирішити головоломку SOKO-BAN (яка може не мати рішення), є такий приклад.

cc.complexity-theory np board-games pspace

— домоторп
джерело

Мені дуже подобається це питання.

— Tayfun Pay

Я не знаю, чи задовольняє гра QBF вашій умові, один гравець є екзистенційним гравцем, інший - універсальним гравцем. Ну багато ігор у подібній формі. Я думаю, якщо між гравцями немає залежності, то гра не є двома гравцями, але якщо між ними є залежність, то (нечітко кажучи), є деякі інтерпретації, схожі на стиль QBF.

— Саїд

Це побічне зауваження, але більшість природних ігор (у тому сенсі, які грають у реальному світі, такі як шахи, ідіть, ...) не закінчуються після поліноміального числа рухів, а швидше експоненціальні (в гіршому випадку). Чи є у вас певна причина для додавання цього обмеження, окрім отримання поліноміального відношення між ПОВЕРНЕННЯМ-СКЛАДНОСТІ та ПОЗИЦІЙНО-СКЛАДНОСТІ?

— Денис

Можливо, сімейство прикладів може бути створене для розслаблення умов виграшу одного з двох гравців: наприклад, шаховий матч, в якому білі виграють зі стандартною маткою, а чорні виграють з маткою або захоплюють білу королеву. Іншим прикладом може бути GG з червоно-синім кольором вузлів, і один з двох гравців може виграти не тільки стандартним способом, але і зібрати певну кількість червоних вузлів. Я детальніше подумаю про можливі формалізації подібних прикладів.

— Marzio De Biasi

Якщо у грі немає нічиїх (і досить обмежена кількість можливих ходів за оборот), чи означає наступний факт відповідь «ні»? Хід виграє, якщо і лише тоді, якщо жодна з відповідей опонента на нього не виграє.

— usul

Відповіді:

Можливо, досить природна гра полягає в наступному:

Гравець 1 розміщується посередині лабіринту і повинен вийти на вихід, щоб перемогти.

Гравець 2 знаходиться в тому ж лабіринті і повинен зібрати набір "компонентів", щоб створити радіоконтролер, який дозволяє йому закрити вихід (і перемогти).

$n$ $n$

Щоб зробити гру більш "інтерактивною", ми можемо також додати додаткові дії до гравця 2, які можуть спричинити лише сповільнення поліномів при обчисленні наступного кроку для гравця 1; наприклад, дозволяючи йому блокувати фіксовану кількість коридорів лабіринту.

— Марціо Де Біасі
джерело

$C$

Тоді достатньо подивитися на деякі природні ігри, де ПОЗИЦІЯ-КОМПЛЕКСІСТЬ асиметрична. Нам завжди буде потрібна певна асиметрія між гравцями для створення таких ситуацій, але, сподіваємось, це буде максимально природно.

$\cap$

$P_1$ $P_2$ $p(n)$ $i$ $P_i$

— Денис
джерело

Я б заперечив, що малоймовірно, що "кінцеве" означає "постійне" тут.

— Кайл

Насправді, у так званих іграх Picker-Chooser або Chooser-Picker можна легко побудувати приклади, для яких найкраща стратегія одного гравця - це проста стратегія сполучення, тоді як інша повинна вирішити 3-SAT на будь-якій CNF, зазначеній раніше, це неповна проблема.

Скажімо, ігри Picker-Chooser - це асиметрична гра на гіперграфоні H = (V, E): Picker вибирає два невибрані елементи V, тоді Chooser бере один із них, а інший повертає Picker. Chooser виграє, якщо він отримає всі елементи A від E. Тепер, даючи формулу CNF F від 3-SAT, V - це набір літералів, і E реалізує деякий гаджет. Загалом, Picker повинен завжди пропонувати x_i та x_i заперечувати у всіх кроках (інакше програє негайно), тоді як вибір Chooser є довільним входом 0-1 для будь-якого x_i, і він виграє, задовольняючи F.

Деталі див. У: А. Черненський, Р. Мартін та А. Плугар, Про складність позиційних ігор на вибір. Цілі 11 (2011).

або за адресою: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf

— Андрас Плухар
джерело