Поліномний метод для результатів складності

Поліноміальні методи , скажімо, комбінаторіальна теорія Нуллстелленсац і Шевалі - Попередження, є потужними інструментами в аддитивній комбінаториці. Представляючи проблему з належними многочленами, вони можуть гарантувати існування рішення або кількість розв’язків многочленів. Вони використовувались для вирішення таких завдань, як обмежені суми або задачі з нульовою сумою , і деякі теореми в цій області можна довести лише такими методами.

Для мене неконструктивна манера цих методів справді дивовижна, і мені цікаво, як ми можемо застосувати ці методи, щоб довести будь-які цікаві включення та розділення класів складності (навіть якщо результат можна вирішити іншими методами).

Чи відомі якісь результати складності, що їх можна довести поліноміальними методами?

Деякі класичні приклади використання поліноміального методу:

• Доказ Розборова-Смоленського про "Паритет не в " ( багато експозицій доступні в Інтернеті, ось одна )$AC^0$
• Доказ Бейгеля-Рейнгольда-Спілмана про "ПП закрито в перехресті"
• Результат Баззі за обдурення ДНФ та доказ Бравермана про " дурність незалежності полілогу$AC^0$ "

Також фур’єрний аналіз булевих функцій ( тут чудовий курс Райана О'Доннелла ) має ВЕЛИЧЕЗНУ колекцію дивовижних результатів, моїм улюбленим є доказ Кушилевіц-Мансур-Нісана теореми Голдріха-Левіна .

Насправді Скотт Аронсон дав підручник на FOCS'08 на тему " Поліноміальний метод у класичних та квантових обчисленнях (ppt) ".

Сподіваюся, це допомагає.

Є результат Зеєва Двіра щодо проблеми кінцевого поля Какея, про яку згадувалося на цьому веб-сайті раніше. Зеєв використовував поліноміальний метод, щоб знизити межу кількості точок у будь-якій множині точок у F ^ n (F кінцеве поле, n натуральне число), що містить лінію у кожному напрямку. Цей результат фактично звернув увагу людей в аналізі на поліноміальний метод.

Результат Зеєва був мотивований завданням побудувати екстрактори випадковості . Це є частиною величезних зусиль теоретичної інформатики щодо дерадонізації алгоритмів, і в кінцевому підсумку показано, що P = BPP та подібні результати складності мають місце.

Детальніше дивіться у опитуванні Зеєва: http://www.math.ias.edu/~dvir/papers/Dvir09b.pdf