Обчислення парності перестановки в потоковому способі

Я шукаю однопрохідний алгоритм, який обчислює паритет перестановки. Я припускаю, що перехідна перестановка задається потоком . Вихід повинен бути паритетом перестановки. Мене цікавить питання, скільки пам'яті повинен використовувати детермінований алгоритм. Чи існує якийсь рандомізований алгоритм проблеми? $\pi[1], \pi[2], \cdots, \pi[n]$

Я знаю, що для обчислення кількості інверсій за один прохід використовується пам'ять. Верхню межу можна легко отримати за допомогою будь-якої BST. Нижня межа представлена тут: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/versions?doi=10.1.1.112.5622 $\Theta(n)$

На жаль, доказ нижньої межі в роботі не може бути поширений на паритетну справу (або це не так очевидно для мене).

Також я знаю, що обчислення парності в невеликому просторі з випадковим доступом до перестановки може бути виконано за часу та пам'яттю за допомогою детермінованого алгоритму або в пам'ять часу та шляхом рандомізованої. Дивіться http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.29.2256 $O(n \log n)$ $O(\log^2 n)$ $O(n \log n)$ $O(\log n)$

Основна ідея полягає в тому, що парність перестановки можна обчислити за формулою , де - кількість циклів, а - розмір. Автори роблять цикл розкладання перестановки. Таким чином, можна легко обчислити кількість циклів. $sgn(\pi) = (-1)^{n - c}$ $c$ $n$

Хтось знає ефективний алгоритм або нижню межу пам'яті для обчислення паритету в потоковій моделі? Рандомізовані алгоритми, кращі за випадкові монети, цікаві і для мене.

ds.algorithms permutations streaming-algorithms

— Всеволод Опарін
джерело

Це цікаво. Чи можете ви накреслити доказ або назвати проблему, яку ви зведете до паритету?

— Всеволод Опарін

@ András: Чи не працює алгоритм простору O (n) просто, відстежуючи, які елементи вже були помічені (скажімо, у бітвекторі), а потім для кожного нового елемента x додаючи парність числа # все ще до- видні елементи розміром менше x?

— Ласло Козьма

@laszlo ваша верхня межа здається мені більш переконливою, ніж мій аргумент щодо більшої нижньої межі.

O (n)

$O(n)$

— Андрас Саламон

Один негативний результат для нижньої межі. Автори першої статті передбачає перестановки на основі двох множин і . Вони використовують його для обчислення того, чи перетинаються іОбчислювальний паритет перестановки займає лише 3 біти одностороннього зв'язку. Це можна легко отримати, обчисливши ранг відповідної матриці.

π = \bar{A_{0}} B_{1} A_{0} \bar{B_{1}}

$\pi = \bar{A_0}B_1A_0\bar{B_1}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— Всеволод Опарін

Пов'язаний: stackoverflow.com/questions/20702782 / ...

— domotorp

Я хотів би попросити усіх не підтримувати це, оскільки це не відповідь, а розширений коментар, в якому я хотів би заперечити, чому на це запитання не отримано жодної відповіді. Моя головна думка полягає в тому, що нижня межа складності зв'язку не працюватиме. Під цим я маю на увазі, що як би ми не розрізали вхід на дві частини і дали його двом гравцям, A і B, A може перенести один біт на B, з якого він може обчислити паритет перестановки. (Це випливає просто з огляду на інверсії.)

Докази, що використовують інший зв’язок, важкі. Дивіться цей коментар тут Ноам Нісан (для недетермінованої версії): Обмежує розмір найменшого NFA для чітко визначених L_k ,

На це відповідне запитання особисто я відповів Герман Грюбер, який свідчить про те, що нижня межа складності спілкування може бути дуже далекою від істини (знову ж таки в недетермінованій версії) Нижня межа для NFA, що приймає 3-літерну мову .

Також пов'язане з тим, що вирішити, чи перестановка є одним циклом, здається, важко, дивіться цей документ про FOCS Ран Різ та Борис Шпікер: http://www.computer.org/csdl/proceedings/focs/1993/4370/00 /0366870-abs.html .

Отже, мені також дуже цікаво дізнатися відповідь на це питання.

— домоторп
джерело

Коли ви говорите, що "як би ми не розрізали дані на дві частини", ваш аргумент також виключає скорочення, коли перестановка розбита на більш ніж дві частини? Наприклад, у зв'язаному документі про підрахунок кількості інверсій спостерігається зменшення від заданої неперервності, де Аліса і Боб мають входи , і вони утворюють перестановки і . Індекс 0 або 1 відноситься до перетворень і , а штрих - до доповнення. Іншими словами, що робити, якщо спілкування може бути багатогранним?

A, B \subseteq [n]

$A, B \subseteq [n]$

\bar{A_{0}} B_{1} A_{0} \bar{B_{1}}

$\bar{A_0} B_1 A_0 \bar{B_1}$

\bar{A_{1}} B_{0} A_{1} \bar{B_{0}}

$\bar{A_1} B_0 A_1 \bar{B_0}$

2 x

$2x$

2 x + 1

$2x+1$

— Ласло Козьма

@laszlo: У цій проблемі насправді не має значення, як ви вирізаєте вхід, доки ви дасте його лише двом гравцям, оскільки паритет перестановки визначається кількістю його циклів (тому воно відрізняється від числа інверсій).

— domotorp

Чи легко зрозуміти, як A може обчислити трохи з її вводу, використовуючи, який B може обчислити паритет? Я бачу, як і А, і Б знають кількість циклів "всередині їх частин". Але як вони знаходять парність циклів "перетину"?

— Ласло Козьма

@laszlo: Припустимо, вхід A - це щось на зразок 1-> 7, 2-> 5, 3-> 8, 4-> 6. Це має таку ж кількість інверсій, як 1-> 5, 2-> 6, 3-> 8, 4-> 7. Більш загально, Б знає, на які числа відображаються числа А. Використовуючи парну кількість інверсій, A може переставити ці числа в порядку зростання, за винятком останніх двох. Співвідношення цих двох останніх чисел - це один біт, який вона надсилає.

— domotorp

@ domotor: наступне запитання - якщо A отримує , B отримує , C отримує перестановок з , вони можуть встановити парність з бітів зв'язку?

a_{1}, \dots, a_{n}

$a_1, \dots, a_n$

a_{n + 1}, \dots, a_{2 n}

$a_{n+1}, \dots, a_{2n}$

a_{2 n + 1}, \dots, a_{3 n}

$a_{2n+1}, \dots, a_{3n}$

a

$a$

[3 n]

$[3n]$

o (n)

$o(n)$

— Ласло Козма