Чи може введений лямбда-обчислення виражати * всі * алгоритми нижче заданої складності?

Я знаю, що складність більшості різновидів типізованих лямбда-обчислень без примітивістату Y комбінатора є обмеженою, тобто лише функції обмеженої складності можуть бути виражені, причому зв'язаність стає більшою в міру зростання виразності типової системи. Я пам'ятаю, що, наприклад, обчислення конструкцій може виражати щонайбільше подвійну експоненціальну складність.

Моє запитання стосується того, чи можуть введені лямбда-обчислення виражати всі алгоритми нижче певної межі складності чи лише деякі? Наприклад, чи існують алгоритми експоненціального часу, які не можна виразити жодним формалізмом у кубі Ламбди? Яка «форма» простору складності, який повністю охоплений різними вершинами Куба?

Я дам часткову відповідь, сподіваюся, інші заповнять заготовки.

У типизированном -calculi, один може дати тип для звичайних уявлень даних ( N т для Церкви (одинарні) цілих числа, S т г для довічних послідовностей, Б про про л для Booleans) і дивно , що є складністю функцій / проблеми, які можна представити / вирішити за допомогою введених термінів. Я знаю точну відповідь лише в деяких випадках, і в просто набраному випадку це залежить від конвенції, яка використовується при визначенні "репрезентативної / рішучої". Так чи інакше, я не знаю жодного випадку, в якому є подвійна експоненціальна верхня межа.$\lambda$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Bool}$

Спочатку короткий підсумок про куб Ламбди. Його 8 розрахунків одержують шляхом включення або вимкнення наступних 3 видів залежностей поверх просто набраного розрахунку (STLC):$\lambda$

• поліморфізм : терміни можуть залежати від типів;
• залежні типи : типи можуть залежати від термінів;
• вищий порядок : типи можуть залежати від типів.

(Залежність термінів від термінів завжди є).

Додавання поліморфізму Урожайність System F. Тут ви можете ввести цілі Церкви з , і аналогічно для двійкових рядків і булевих. Ґірард довів, що терміни системи F типу N a t → N a t являють собою саме числові функції, сукупність яких можна довести в арифметиці Пеано другого порядку. Це майже щоденна математика (хоча і без будь-якої форми вибору), тому клас величезний, функція Акермана - це такий собі крихітний мікроб, не кажучи вже про функцію 2 $\mathsf{Nat}:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$ . Я не знаю жодної "природної" чисельної функції, яка не може бути представлена ​​в Системі F. Приклади, як правило, будуються діагоналізацією або кодуванням узгодженості ПА другого порядку, або іншими самореференційними хитрощами (наприклад,рішеннямβ-рівності в системі F себе). Звичайно, у System F ви можете конвертувати між унарними цілими числамиNatта їх бінарним поданнямStr, а потім перевірити, наприклад, чи є перший біт 1, тому клас вирішуваних задач (за умовами типуStr→Bool) однаково величезна.$2^{2^n}$$\beta$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Str}\rightarrow\mathsf{Bool}$

Інші 3 розрахунки куба Ламбди, які включають поліморфізм, є, принаймні, такими ж виразними, як Система F. До них відносяться Система F ω (поліморфізм + вищий порядок), яка може виражати точно суттєво загальні функції у вищому порядку ПА та обчислення Конструкції (CoC), що є найбільш вираженим численням куба (усі залежності включені). Я не знаю характеристики виразності КС з точки зору арифметичних теорій чи теорій множин, але це повинно бути досить страшно :-)$_\omega$

Я набагато більше необізнаний щодо розрахунків, отриманих шляхом просто включення залежних типів (по суті, теорія типу Мартина-Лефа без рівності та натуральних чисел), типів вищого порядку або обох. У цих розрахунках типи є потужними, але терміни не можуть отримати доступ до цієї потужності, тому я не знаю, що ви отримуєте. Обчислено, я не думаю, що ви отримуєте набагато більше виразності, ніж у простих типів, але я можу помилятися.

Отже, нам залишається STLC. Наскільки мені відомо, це єдине обчислення куба з цікавими (тобто не жахливо великими) складними верхніми межами. На це питання на TCS.SE є без відповіді , і насправді ситуація трохи тонка.

$X$$\mathsf{Nat}:=(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$$X$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}$$A$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}[A']\rightarrow\mathsf{Nat}$

$M$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$M$$n$$M$

$\mathcal C_{ST}$$\mathsf{Str}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$\mathcal C_{ST}$$\mathcal C_{ST}\subsetneq\mathrm{LINTIME}$$\mathrm{LINTIME}\setminus\mathcal C_{ST}$

$\mathcal C_{ST}$

$\mathcal C_{ST}=\mathsf{REG}$$\{0,1\}$

(Це теорема 3.4 у своїй роботі).

$\mathcal C_{ST}$$\mathrm{LINTIME}$$\lambda$$\mathcal C_{ST}$

(До речі, я поділився своїм здивуванням у цій відповіді на питання МО про "невідомі теореми").

Відповідь на запитання, яке Даміано підніс у своїй чудовій відповіді:

Я набагато більше необізнаний щодо розрахунків, отриманих шляхом включення залежних типів (по суті, теорії типу Мартина-Лефа без рівності та натуральних чисел), типів вищого порядку або обох. У цих розрахунках типи є потужними, але терміни не можуть отримати доступ до цієї потужності, тому я не знаю, що ви отримуєте.

$_\omega$

$\lambda{P}$$\lambda{P}\omega$

Я не знаю, яка сила непередбачуваного обчислення конструкцій, якщо додати індуктивні типи та великі усунення.

Я спробую доповнити відмінну відповідь Даміяно.

$\lambda$$F$ $\mathrm{HA}_2$

$\cal{T}$$\cal{L}$$\cal{T}$$\cal{L}$

$\cal{L}$

• $F$$\mathrm{HA}_2$

• $T$$\mathrm{PA}$$F$

$\lambda$$\mathrm{PTIME}$

Загалом це велика дорога досліджень, тому я просто звернусь до однієї з моїх попередніх відповідей .