Максимальна вага "справедливого" узгодження

Мене цікавить варіант відповідності максимальної ваги у графіку, який я називаю "Максимальне справедливе співпадіння".

Припустимо , що граф сповнений (тобто ), має парне число вершин, і що вага задається функцією прибуток . З огляду на відповідність , позначаємо прибуток краю узгоджується з. $E=V\times V$ $p:{V\choose 2}\to \mathbb N$ $M$ $M(v)$ $v$

відповідає, $M$ - справедливий iff відповідності для будь-яких двох вершин $u,v\in V$ :

(\forall w \in V : p ({w, v}) \geq p ({w, u})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$

Тобто, якщо для будь-якої вершини $w\in V$ відповідність $w$ вершині $v$ дає більший прибуток, ніж відповідність їй вершині $u$ , справедливого співпадіння має бути достатньо $M(v)\geq M(u)$ .

Чи можемо ми знайти ефективний показник максимальної ваги ефективно?

Цікавий випадок, коли графік двосторонній і справедливість стосується лише однієї сторони, тобто припускаємо, що $G=(L\cup R,L\times R)$ , і нам надається функція прибутку $p:L\times R\to \mathbb N$ .

Ярмарок Дводольні відповідності є відповідність в $G$ таке , що для будь-яких двох вершин $u,v\in L$ :

(\forall w \in R : p ({v, w}) \geq p ({u, w})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$

З якою швидкістю ми можемо знайти максимально вагомий двосторонній збіг?

Мотивація цієї проблеми випливає з двостороннього особливого випадку. Припустимо, у вас робітників і завдань, а працівник може отримати прибуток від роботи . Проблема тут полягає у розробці розумного (у певному сенсі робітники не відчуватимуть себе "зірваним"), максимізуючи загальну виплату (тут існує компроміс між силою механізму присвоєння та соціальною вигодою). $n$ $m$ $i$ $p_{i,j}$ $j$

Якщо ми визначимо соціальне забезпечення (або фабричний прибуток) від присвоєння робітників на роботу як суму прибутку.

Дивлячись на різні сценарії повноважень посадової особи, ми отримуємо такі результати:

Якщо нам дозволено призначити будь-якого працівника на будь-яку роботу, ми можемо ефективно оптимізувати завод (просто знайти відповідність максимальної ваги).
Якщо кожен робітник обирає завдання самостійно, припускаючи, що його робота буде обрана (для кожної роботи може бути обрана лише одна робота), якщо він буде найбільш кваліфікованим працівником, який обрав це завдання, працівники перейдуть у "жадібні" ' рівновагу. Причина полягає в тому, що працівник, який міг би найбільше заробити ( ), обере найвигіднішу роботу тощо. За коефіцієнтом наближення жадного алгоритму відповідності це повинно дати 2-наближення максимально можливого соціального добробуту. $i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

Я шукаю щось середнє. Припустимо, ми могли призначити працівників на роботу, але мусимо пообіцяти їм, що жоден "менш кваліфікований" робітник не заробляє більше за них.

Як ми можемо ефективно знайти максимальну вагу, яка відповідає перспективній "справедливості" для працівників?

— РБ
джерело

Дотично, для другого (двостороннього) випадку, здається, легко побудувати приклади, коли кожне "справедливе" співставлення дає першому працівнику прибуток 1, а решта нульове, хоча існують "несправедливі" відповідники, що дають першому працівнику прибуток і всі інші отримують прибуток . Аналогічно приклади, коли справедливе співвідношення максимальної ваги дає кожному працівнику прибуток , навіть якщо є несправедливі відповідність, що дає кожному працівнику прибуток у .

1 - 2 ϵ

$1−2\epsilon$

1 - ϵ

$1−\epsilon$

2 / n

$2/n$

{1 - ϵ, 1 - 2 ϵ}

$\{1-\epsilon,1-2\epsilon\}$

— Ніл Янг

@NealYoung - чи правильно я припускаю, що ці сценарії не можуть існувати, якщо прибуток відрізняється?

— RB

Це здається стандартним питанням в теорії ігор, коли неможливість розрізнити альтернативи значно знижує соціальний добробут.

— RB

Ой, я повертаю свій коментар - я не впевнений, що ці приклади зрештою зрозумілі!

— Ніл Янг

Я вважаю, що "максимальна вага справедливого двостороннього збігу", як ви визначили, це важко. Навіть більше, визначити існування справедливого двостороннього відповідності є важким NP.

Перш ніж я навести доказний ескіз, для інтуїції розглянемо наступний невеликий екземпляр. Візьмемо де , . Візьміть таким, що для і , тоді як для і . Тоді і є рівнозначними, в тому сенсі, що для всіх , тому будь-яка справедлива відповідність повинна давати і однаковий прибуток. Отже, єдині справедливі поєдинки або матч $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $L=\{a,b\}$ $R=\{c,d,e,f\}$ $p$ $p(u,w) = 0$ $u\in L$ $w\in\{c,d\}$ $p(u,w) = 1$ $u\in L$ $w\in\{e,f\}$ $a$ $b$ $p(a, w) = p(b, w)$ $w\in R$ $a$ $b$ $a$ і до і , або вони відповідають і до і . Використовуючи цей вид гаджета, ми можемо примусити координацію країв у відповідності. Це є основою скорочення. $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $e$ $f$

Ось спроба доведення. Це трохи залучено. Напевно, є деякі помилки, але, сподіваємось, будь-які помилки можна виправити.

Лема 1. Дано і як описано в задачі, визначаючи, чи містить справедливу відповідність NP -твердий. $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$

Доказ ескіз. Доказ - зменшення від незалежного набору в кубічних графах. Нехай - заданий екземпляр незалежного набору, де - кубічний графік (кожна вершина має ступінь 3). Ми описуємо, як побудувати графік і функцію прибутку таким, що має справедливу двосторонню відповідність, якщо і тільки якщо має незалежний набір розміром . $(G=(V,E),k)$ $G'$ $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$ $G$ $k$

Вершини в прийдуть парами, називаються партнерами . Аналогічно для вершин в . Для кожної вершини будемо позначати партнера . Кожна вершина та її партнер будуть еквівалентними , це означає, що ми зробимо Отже, будь-яка справедлива відповідність повинна призначати однаковий прибуток та . Далі ми використовуємо для позначення значення . $L$ $R$ $v\in L\cup R$ $v'$ $v$ $\ell\in L$ $\ell'\in L$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r) for all r \in R .

$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

π (ℓ, r)

$\pi(\ell, r)$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r)

$p(\ell,r) = p(\ell', r)$

Далі для кожної пари в і кожної пари партнерів в ми робимо або робимо У першому випадку ми кажемо, що ми дозволяємо та зіставлятись з та (тому що при цьому буде присвоєно той самий прибуток та , як потрібно). В останньому випадку ми говоримо, що ми не можемо і (обидва) відповідати і $\ell$ $L$ $r, r'$ $R$

π (ℓ, r) = π (ℓ, r^{'})

$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$

π (ℓ, r) \neq π (ℓ, r^{'}) .

$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$ (тому що це не призведе до однакового прибутку та ).

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

Оскільки даний графік є кубічним, він задовольняє, і будь-який незалежний набір розміром в падає рівно на кромки. Припустимо для зручності позначення, що . $G=(V,E)$ $3|V|=2|E|$ $I$ $k$ $G$ $3k$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$

Для кожного краю зробіть наступне. $\{i, j\}\in E$

Додайте пару партнерів вершин для . $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$ $R$
Для кінцевої точки , додати пару вершин партнера в . Встановити дозволяючи і відповідати і . $i$ $\ell(i,j), \ell'(i,j)$ $L$
$π (ℓ (i, j), r ({i, j})) = π (ℓ (i, j), r^{'} ({i, j})) = i,$ $\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$
Симетрично для іншої кінцевої точки : додайте ще пару пар вершин у та встановіть що дозволяє і відповідати і . $j$ $\ell(j,i), \ell'(j,i)$ $L$
$π (ℓ (j, i), r ({i, j}) = π (ℓ (j, i), r^{'} ({i, j})) = j,$ $\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$ $\ell(j,i)$ $\ell'(j,i)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$

Для кожного та доданих до цього часу, якщо пара явно не дозволяється (вище) дорівнювати , то запобігайте збігу, призначивши і кожен - унікальне число. $\ell\in L$ $r\in R$ $\ell, \ell'$ $r, r'$ $\pi(\ell, r)$ $\pi(\ell, r')$

Далі до додайте пари вершин заповнення . Для кожної вершини заповнення та кожної встановіть . $3(|V|-k)$ $R$ $r$ $\ell(i,j)\in L$ $\pi(\ell(i,j), r) = 0$

Нарешті, додайте дві вершини і (партнерів) в , поряд з двома вершинами і (також партнерів) в . Встановіть , що дозволить і збігатися з і . Для кожної іншої вершини встановіть на деяке унікальне число. (Отже, будь-який зіставлення справедливо повинно відповідати і до і .) Для кожного $L_0$ $L'_0$ $L$ $R_0$ $R'_0$ $R$ $\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $r\in R$ $\pi(L_0, r)$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ , для кожного краю падаючого , встановіть і . $\{i,j\}\in E$ $\pi(\ell(i,j), R_0) = i$ $\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

Це завершує скорочення. Для закінчення ми доводимо, що це правильно.

Спочатку розглянемо для яких пар вершин остання домінує над першою, тобто $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

(\forall r \in R) π (ℓ (i, j), r) \leq π (ℓ (i^{'}, j^{'}), r) .

$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$

Враховуючи прибуток, присвоєний краям, що падають на та , цю умову можна виконати лише у тому випадку, якщо , і, перевіривши визначення для ребер, що залишилися, умова є достатньою. Отже, зіставлення справедливо , якщо і тільки якщо вона привласнює і до і , а також, для кожного , дає однаковий прибуток для всіх вершин в $R_0$ $R'_0$ $i=i'$ $\pi$ $i=i'$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$

N (i) = {ℓ (i, j) : {i, j} \in E} \cup {ℓ^{'} (i, j) : {i, j} \in E} .

$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$

Спочатку припустимо, що має незалежну множину розміром . Отримайте справедливу відповідність для з наступним чином. $G$ $I$ $k$ $G'$ $I$

Матч і до і . $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$

Для кожної вершини , нехай її три краї падаючих. Для кожного краю співставити вершину та її партнера до і . Це дає всі вершини в прибутку . $i\in I$ $\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$ $\{i, j_h\}$ $\ell(i,j_h)$ $\ell'(i,j_h)$ $r(\{i,j_h\})$ $r'(\{i, j_h\})$ $N(i)$ $i$

Для кожної з вершин для кожного з трьох ребер трапляються на , відповідають та його партнер до деякої унікальної пари вершин наповнювача та його партнера . Це дає всі вершини в прибутку . $|V|-k$ $i\in V\setminus I$ $\{i,j\}$ $i$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r$ $r'$ $N(i)$ $0$

Отже, ця відповідність справедлива.

Далі припустимо , що має справедливе відповідності . $G'$ $M$

$M$ повинні відповідати і до і . Для кожного відповідність повинна дати кожній з вершин однакового прибутку. Для кожного його партнер також знаходиться в . Отже, перевіряючи зменшення, прибуток кожної такої вершини повинен бути або (у цьому випадку всі шість вершин у узгоджуються з вершинами та їх партнерами) або нульові (у цьому випадку всі шість вершин у узгоджуються з вершинами заповнення в ). Дозволяє $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ $N(i)$ $\ell(i,j)\in N(i)$ $\ell'(i,j)$ $N(i)$ $i$ $N(i)$ $r(\{i,j\})$ $N(i)$ $R$ $I$ є сукупністю вершин, для яких дотримується колишня справа. Для кожного краю вершина та її партнер порівнюються з однією вершиною. Звідси випливає, що - незалежна сукупність. Оскільки кількість вершин заповнення становить , розмір повинен бути не менше . $\{i,j\}$ $r(\{i,j\})$ $I$ $6(|V|-k)$ $I$ $k$

QED (?)

Я думаю, що це в основному правильно, якщо трохи заплутано. Повідомте мене, якщо ви бачите якісь помилки чи спосіб спростити доказ.

Зниження вище передбачає, що добре прийняти. Якщо це небажано, я б припустив, що ми можемо набити звершини заповнення, призначаючи прибуток 0 всім їх краям, крім ребер і . Ми можемо присвоїти прибуток останнім краям, щоб у вершинах наповнювача не переважали (ні домінували) жодна інша вершина. $|R|>|L|$ $L$ $|R|-|L|$ $R_0$ $R'_0$

— Ніл Янг
джерело