Яка народна модель лінійної логіки?

Напевно, найпоширенішим застосуванням лінійних типів у PL є використання їх для надання мов, які керують псевдонімом (тобто лінійне значення має на нього один вказівник, більш-менш).

Але між цим використанням та типовими денотаційними моделями лінійної логіки є невелика невідповідність. IIRC, Бентон показав, що якщо декартова закрита категорія має сильну комутативну монаду, то її категорія алгебр буде симетричною моноїдальною замкнутою (тобто модель лінійної логіки). Але ця теорема не застосовується до використання псевдонімів, оскільки стан монади не є комутативним. І справді, за останні кілька років Сімпсон та його колеги давали розрахунки для загальних сильних монад, які не є терміновими розрахунками для лінійної логіки.

Отже, моє запитання полягає в тому, що таке денотаційна семантика лінійних мов із державою? Чи існує нероджена (тобто тензор не декартовий продукт) симетрична моноїдна закрита категорія, в якій можна моделювати розподіл, зчитування та лінійне оновлення?

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Це таке питання, яке я очікував би, що ви відповісте на Ніла, а не на запитання. ;-)

— Марк Хаманн

якщо ви зможете залучити дослідників до cstheory.stackoverflow.com, які здатні відповісти на це питання, тоді світ стане для нього кращим місцем.

— Дейв Кларк

Відповіді:

Мені здається, що напрямок, який ви повинні розглянути, обертається навколо ігрової семантики для загальних посилань і пов'язаної з ними семантики для лінійної логіки, наприклад, заснованої на іграх Conway . Алгебраїчний опис посилань на ігрову семантику Пол-Андре Меллієс та Ніколяс Табаро, мабуть, найкраще місце для початку. У цьому документі лінійна логіка розслаблена до так званої логіки тензора, щоб змусити роботу працювати, тому це не зовсім потрібне налаштування. Але вони покладаються на ігри Conway, тому, безумовно, існує зв'язок з моделями лінійної логіки. Вони також не дуже використовують лінійність, як у лінійних типах, але я думаю, що це техніка для цього, якщо ви хочете.

Робота Джима Лейрда (наприклад, «Ігрова семантика імен та покажчиків» ) та Гая МакКускера також може сприяти вашим пошукам. Нещодавня цікава теза семантика ігор для об’єктно-орієнтованої мови Ніколаса Вулверсона підштовхує ці ідеї далі в середовищі ОО. Він детально розглядає лінійну нитку , лише одну операцію, активну за один раз, та описує, як додати лінійні класи . Обидва покладаються на лінійне введення. Знову ж таки, лежача в основі модель не є строго моделлю лінійної логіки, але вона близька.

— Дейв Кларк
джерело

Просто цікавий Ніл. Вам це було корисно, чи ви вже знали про всі ці речі?

— Дейв Кларк

T (A) = S \to A \times S

$T(A) = S \to A \times S$

Можливо, глобальний стан Удай Редді вважав непотрібним: вступ до об'єктно-орієнтованої семантики, Дж. Лісп та символічні обчислення, 9 (1996): 7-76.

— Дейв Кларк

Я читаю це зараз, власне!

— Ніл Крішнасвамі

(Боже, Ніл, це було складне питання.)

"Фольклорна модель" лінійної логіки, безумовно, є когерентною моделлю просторів, обговорюваної в статті "Лінійна логіка" Жирара (а також у "Докази та типи"). Це не вироджується в тому сенсі, який ви описуєте.

Чи кидає ця семантика будь-яке світло на те, як можна реалізувати лінійну функціональну мову, я не впевнений. Коли ви говорите про розподіл, зчитування та лінійне оновлення, ви дійсно говорите про реалізацію. Тому, можливо, ваше запитання може бути сформульоване так: "як я можу довести правильність реалізації лінійної функціональної мови, яка використовує стан-оновлення?" Я не знаю відповіді на це, але думаю, що він повинен існувати в документах, які пропонують реалізацію лінійних оновлень.

— Удай Редді
джерело

Насправді довести правильність реалізації лінійного стану занадто просто - лінійність є настільки сильним структурним обмеженням, що вам навряд чи потрібна семантика для виконання цих доказів. Як результат, я не знаю простої денотаційної семантики лінійного стану. Дві найближчі речі до того, що я хочу, - це ваша робота над об'єктно-орієнтованою семантикою та модель «проміжки довжин» Гофмана в його роботі про неявну складність.

— Ніл Крішнасвамі

Власне, я б не описував об'єктову семантику як моделювання "лінійного стану". Це швидше "послідовний стан" і "лінійні об'єкти", латте нав'язується SCI. Ігрові моделі Idealized Algol, які також є "об'єктними" в тому ж сенсі, не мають лінійного нічого.

— Удай Редді,

Чи можете ви надати деякі посилання, де можна знайти такі докази коректності? (Вибачте, повертаю питання на вас!)

— Удай Редді,

Найпростіший доказ звучності для лінійної мови зі станом, який я знаю, - це "L3: лінійна мова з локаціями" Ахмеда, Флует та Морісетта. ( ttic.uchicago.edu/~amal/papers/linloc-fi07.pdf ) У роботі вони дають просте логічне відношення, але зазначають, що також проходить синтаксичний доказ прогресу та збереження.

— Ніл Крішнасвамі

Ось ще одна робота, яка щойно припала мені до уваги. Спробуйте Citeseer для Стівена Купера, «Про лінійних типів і владний Update» посилання . Я мав би знати про це, але ні.

— Удай Редді