Проблема з конфігурацією "змії"

Під час написання невеликого допису про складність відеоігор Nibbler та Snake ; Я виявив, що обидва вони можуть бути змодельовані як проблеми з конфігурацією на плоских графах; і малоймовірно, що подібні проблеми недостатньо вивчені в області планування руху (уявімо, наприклад, ланцюжок зв'язаних вагонів або роботів). Ігри добре відомі, однак це короткий опис відповідної моделі реконфігурації:

ПРОБЛЕМА СНАКУ

Введення : заданий плоский графік , галька розміщується на вузлах які утворюють простий шлях. Галька являє собою змію , а перший - його голова. Голову можна перемістити зі свого поточного положення до сусіднього вільного вузла, а тіло слід за нею. Деякі вузли позначені крапкою; коли голова досягне вузла з крапкою, тіло збільшиться на гальки наступними рухами голови. Крапка на вузлі видаляється після обходу змії.$G = (V,E)$$l$$p_1,...,p_l$$u_1,...,u_l$$p_1$$e$$e$

Проблема : Ми запитуємо, чи можна змію переміщувати по графіку і досягти цільової конфігурації де цільова конфігурація - повний опис положення змії, тобто положення камінчиків.$T$

Неважко довести, що проблема SNAKE не є жорсткою на плоских графах максимуму ступеня 3, навіть якщо не використовуються точки, а також на графіках SOLID-сітки, якщо ми можемо використовувати довільну кількість крапок. Речі ускладнюються на графіках суцільної сітки без крапок (це пов'язано з іншою відкритою проблемою).

Мені хотілося б знати, чи проблема була вивчена під іншою назвою.
і, зокрема, якщо є докази того, що він знаходиться в НП ...

Редагувати: проблема виявилася повною для PSPACE навіть на плоских графах, і результат здається дуже цікавим, тому залишається з’ясувати, чи це нова проблема, і чи є відомі результати щодо неї.

Простий приклад (галька зображена зеленим кольором, голова змії - P1).

Переміщення змії з однієї позиції в іншу - завершено PSPACE. Змія тривіально в PSPACE. Ми приводимо зменшення твердості PSPACE з логіки недетермінованого обмеження Hearn.

Недетермінована логіка обмежень

Нехай графік обмеження - це спрямований графік з ребрами ваги і , таким чином, що кожна вершина має вхідну вагу . Враховуючи два графіки обмежень, PSPACE важко перетворити один на інший, обертаючи ребра, по одному, зберігаючи вхідну вагу кожної вершини . Це все ще справедливо, якщо графік є плоским і кожна вершина має ступінь , або або всі його ребра мають вагу . Перший тип вершин називається А, а другий називається Ор (див. Рисунок). $1$$2$$\geq 2$$\geq 2$$3$$1$$3$$2$

Змія

У нашій конструкції голова змії буде переслідувати свій хвіст на деякій невеликій відстані і буде змушена повторювати той же цикл з незначними модифікаціями. Ми вставляємо кожен край графіка обмеження, як на рисунку (краї показані червоним кольором), де товстими лініями позначаємо положення змії. Край має дві сторони (вершини), і змія бере центральний шлях у тій вершині, до якої спрямований край.

Щоб повернути край, змія спочатку очищає центральний шлях, а потім бере центральний шлях, як тільки його голова досягне протилежної вершини.

Ми вставляємо вершини графіка обмеження, як показано нижче, де кожна з трьох кольорових частин - це половина крайового гаджета, показаного вище. Точки, в яких краї торкаються, переконайтеся, що вхідна вага кожної вершини становить щонайменше , змушуючи змію взяти центральний шлях деяких крайових пристосувань.$2$

Нарешті, чорні лінії всіх крайових пристосувань з'єднуються, щоб утворити єдиний цикл, тому голова змії переслідує свій хвіст. Якщо між двома крайовими гаджетами ми робимо чорний шлях достатньо довгим, змія завжди повинна проходити чорні стежки в тому ж циклічному порядку.

Щоб показати, що чорні стежки завжди можуть бути побудовані площинним способом, розглянемо підкреслене підтонкове дерево (товсті краї на малюнку нижче) графіка обмеження. Тоді ми можемо змусити чорні краї слідувати за цим деревом, як показано нижче, в результаті чого вийде плоский графік.

Цільове положення змії може бути отримане шляхом однакової трансформації. Отже, перенастроювання змії є PSPACE завершеним, навіть на планарних графіках.