Формування теорії типу гомотопії в Ідрісі

Переглядаючи блог теорії гомотопічного типу, можна легко знайти багато бібліотек, що формалізують більшість теорій типу гомотопії в Агді та Кок.

Хтось знає, чи є якась подібна спроба формалізувати HoTT в Idris ?

proof-assistants homotopy-type-theory

— Джорджіо Мосса
джерело

Мені про це невідомо, і, напевно, ми б, мабуть, чули про це, якби хтось намагався (або принаймні, якби це досяг успіху).

— Майк Шульман

@MikeShulman Чи не повинні системи типів Ідріса та Агди бути по суті еквівалентними? У такому випадку у Idris також має бути можливість формалізувати HoTT, чи не так?

— Джорджіо Мосса

Idris більш орієнтований на програмування. Мене хвилює одна річ, чи є у неї еквівалент Agda postulateчи Coq Axiom. Якщо це так, як йому вдається обчислити його (це компільована мова)? Справа в тому, що аксіома одновалентності потребує postulatedредагування.

— Андрій Бауер

Я, звичайно, не хотів сказати, що не думав, що це можливо! Я просто не знаю нікого, хто це ще пробував. Я майже нічого не знаю про Ідріс.

— Майк Шульман

Я очікую, що Ідріс дозволить вам довести аксіому Стрейхера (унікальність доказів ідентичності) за допомогою узгодження зразків (як це робила Агда донедавна), що було б проблемою для HoTT.

— Ніл Крішнасвамі

Ось невелика, неповна і непослідовна формалізація HoTT в Ідрісі. Це показує, що можна вивести протиріччя в Ідрісі, просто постулюючи однозначність. Наразі існує два бар'єри для формалізації HoTT в Ідрісі.

Бар'єр 1: Ідріс має неоднорідну рівність і неоднорідне переписування рівності. З точки зору HoTT, це означає, що ми маємо доступ до наступного принципу переписування, що не відповідає однозначності: За цим принципомми можемо легко довести.

\prod_{П : Х \to Т у p е} \prod_{х : Х} \prod_{p : х = х} \prod_{а, б : П х} (т r а н с p о r т П p а = б) \to (а = б)

$\prod_{P \,:\, X \to \mathsf{Type}}\ \prod_{x\,:\,X}\ \prod_{p \,:\, x = x}\ \prod_{a,\,b \,:\, P\, x} (\mathsf{transport}\ P\ p\ a = b) \to (a = b)$ True = False

Бар'єр 2: Відповідність шаблону в Ідрісі занадто сильна для HoTT, як Ніл Кришнасвамі підозрював у коментарі вище. Ми можемо отримати К. Стрейчера К. Це призводить до унікальності доказів ідентичності, а тому є несумісним з однозначністю. Ми можемо ще раз показати True = False.

— Франсіско Мота
джерело