Якщо P = NP, чи могли б ми отримати докази задуми Гольдбаха тощо?

Це наївне питання, поза моїм досвідом; вибачення заздалегідь.

Концепція Гольдбаха та багато інших невирішених питань з математики можуть бути записані як короткі формули в предикатному обчисленні. Наприклад, праця Кука "Чи можуть комп'ютери звичайно виявляти математичні докази?" формулює цю гіпотезу як

\forall n [(n > 2 \land 2 | n) \supset \exists r \exists s (P (r) \land P (s) \land n = r + s)]

$\forall n [( n > 2 \wedge 2 | n) \supset \exists r \exists s (P(r) \wedge P(s) \wedge n = r + s) ]$

Якщо ми обмежимо увагу поліноміально довгими доказами, то теореми з такими доказами знаходяться в NP. Отже, якщо P = NP, ми могли б визначити, чи є, наприклад, конституція Гольдбаха правдивою в поліноміальний час.

Моє запитання: Чи зможемо ми також виставити доказ у поліномі?

Редагувати . Відповідно до коментарів Пітера Шор та Каве, я мав би кваліфікувати своє твердження про те, що ми могли б визначити, чи допущено гіпотезу Гольдбаха, чи справді це одна з теорем з коротким доказом. Що, звичайно, ми не знаємо!

— Джозеф О'Рурк
джерело

По-перше, для того, щоб виставити короткий (<1000 сторінок?) Доказ гіпотези Гольдбаха, має бути короткий доказ. P = NP не має жодного відношення до цього.

— Петро Шор

@Suresh, @Kaveh: Ви, здається, помиляєтесь. Тут ми маємо конкретний приклад проблеми пошуку NP. Тут має значення кількісний показник - наявність доказу (у відповідній формальній системі) теореми.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Ще одне зауваження полягає в тому, що ми можемо насправді записати алгоритм, що якщо P = NP знайде доказ для даного твердження, якщо він існує у поліномії за часом у довжині твердження і довжині найкоротшого доказу. (цей многочлен є межею, яка відповідає всім теоремам), але це буде "астрономічний" алгоритм.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

@Joe: Ні, я фактично можу записати алгоритм прямо зараз! (Навіть не знаючи, чи P = NP). Ідея - це те, що відомо як Універсальний пошук Левіна.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

@Kristoffer: Класно! Не знав про ЛС. Я бачу, що Маркус Хаттер має вдосконалення свого роду на LS: "Найшвидший і найкоротший алгоритм для всіх чітко визначених проблем". Міжнародний журнал «Основи інформатики», 13 (3): 431–443, 2002.

— Джозеф О'Рурк

Відповіді:

Справді!

Якщо P = NP, ми не тільки можемо вирішити, чи існує доказ довжини n для Концептури Гольдбаха (або будь-якого іншого математичного твердження), але ми також можемо знайти це ефективно!

Чому? Тому що ми можемо запитати: чи є доказ, обумовлений тим, що перший біт є ..., значить, чи є доказ, обумовлений першими двома бітами, що бувають ...., і так далі ...

І як би ти знав росіянин? Ви просто спробуєте всі можливості в порядку збільшення. Коли ми робимо крок у i-й можливості, ми також намагаємось зробити крок у кожній з можливостей 1 .. (i-1).

— Дана Мошковіц
джерело

Це не універсальний алгоритм пошуку Левіна?

— Мохаммед Аль-Туркстані

@turkistany: так, так!

— Дана Мошковіц

Dana відповіла на питання. Але ось кілька коментарів з практичної сторони.

$P=NP$ $P=NP$ $P=coNP$

$NP$ $l$ $P=NP$ $l$

$P=NP$ $l$ $l$ $P=NP$ $P$ $DTime(n^2)$ ), тоді можна взяти цей алгоритм і запустити його, щоб перевірити наявність доказів можливої, але дуже великої довжини, яка буде більшою, ніж будь-який доказ, який будь-яка людина може коли-небудь придумати, і якщо алгоритм не знайде відповіді, то Вирок практично неможливо довести. Трюк, який згадала Дана, також буде працювати тут, щоб знайти докази.

Для практичних засобів:

$P=NP$ $DTime(10000n^{10000})$
він знайде доказ лише за наявності такого (тобто пропозиція не є невиразним вироком у ZFC), більше того, доказ повинен бути стисло коротким.
$P\neq NP$ $NP=DTime(n^{\log^* n})$

— Каве
джерело

(n^{10})

$(n^{10})$