Складність завершення n-королеви?

27

Класична -задача задається питанням, задавши ціле число , чи існує масив цілих чисел, що задовольняє наступним умовам: $n$ $n$ $Q[1..n]$

$1\le Q[i] \le n$ для всіх $i$
$Q[i] \ne Q[j]$ для всіх $i\ne j$
$Q[i]-i \ne Q[j]-j$ для всіх $i\ne j$
$Q[i]+i \ne Q[j]+j$ для всіх $i\ne j$

Кожне ціле число представляє положення королеви в му ряду шахової дошки ; обмеження кодують вимогу, щоб жодна королева не нападала на будь-яку іншу королеву. Неважко довести, що немає рішень, коли або , а розчини закритої форми відомі для всіх інших значень . Таким чином, як проблема вирішення, проблема -символів є абсолютно тривіальною. $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

Стандартний алгоритм зворотного відстеження для побудови рішення -queens спекулятивно розміщує королеви на префіксі рядків, а потім рекурсивно визначає, чи є законним розміщення маток у решти рядків. Рекурсивну підпроблему можна формалізувати наступним чином: $n$

З огляду на ціле число та масив цілих чисел, чи є префіксом масиву який описує розв’язання задачі -quens? $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

Це більш загальна проблема вирішення NP-важка?

Відомо, що декілька питань, що знаходяться поблизу, є важкими для NP, включаючи завершення латинських квадратів [ Colbourn 1984 ], завершення судоку [ Yato і Seta 2002 ], а також різне узагальнення -quens [ Martin 2007 ], але це специфічне питання, схоже, уникло. будь-яка серйозна увага. $n$

Пов'язані питання cstheory.se:

cc.complexity-theory board-games

— Джефф
джерело

2

Мені цікаво, чи існують докази повноти NP щодо судоку, завершення латинських квадратів (та низки інших подібних проблем) ... справді має справу з лаконічними / розрідженими уявленнями про випадки (наприклад, у доказів NPC про завершення Латинської площі, Колбурн каже: "Членство в НП негайне", але він не згадує жодної проблеми кодування примірника).

— Marzio De Biasi

1

@Marzio: ці докази сильно залежать від представництва, і (хоча це зазвичай навіть не згадується), часто навіть не банально встановити членство в НП, наприклад, див. Cstheory.stackexchange.com/a/5559/109

— András Саламон

16

Минули роки, але ця публікація надихнула нас написати документ, який вийшов сьогодні.

Відповідь полягає в тому, що завершення n королеви є NP-завершеним. Однак для повного розкриття слід згадати, що ми вирішуємо невеликий варіант проблеми. У нашому випадку набір королеви не повинен бути префіксом повного набору. Тож технічно ми не вирішили задану тут точну проблему. Однак було б надзвичайно дивно, якби версія n Queens Completion з цього запиту також не була NP-Complete.

Хочу повторити подяку, яку ми висловили Джеффу в роботі, за те, що тут поставили це питання.

Складність журналу про завершення російських королев AI Research Gent, Jefferson, Nightingale doi: 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html

— Ян Гент
джерело

Приємно. Вітаємо!

— Jeffε

У мене є наївне запитання: мені здається, що якщо є (правильний) префікс довжиною , то перехід до набору можна здійснити, перевіривши діагональ префікса, і, отже, в лінійний час . Це так, чи я щось пропускаю? (Я не відмовляюсь, що оригінальна проблема в пості не передбачає правильної префікса)

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Серг Роговцев,

6

(Це вказує на деякі пов'язані з цим результати. Я спочатку вважав, що пов'язані результати дуже пов'язані, але я не можу швидко заповнити прогалини, тому, можливо, вони не так пов'язані між собою. Можливо, все-таки корисні.)

Вправа 118 у (проекті) розділу 7.2.2.2 «Мистецтво комп’ютерного програмування» розглядає дуже схожу проблему. У рішенні Кнут зараховує статтю, яка в свою чергу кредитує

Гарднера, Гріцманб, Прангенберк, Про обчислювальну складність реконструкції решітних наборів з їх рентгенівських променів , 1999 р.

Вправа 118 доводить, що БІНАРНА ЦИФРОВА ТОМОГРАФІЯ є NP-завершеною. Вхід цієї проблеми складається з лінійних та діагональних сум, всі з . $[2]=\{0,1\}$

ВХОД: і $r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

ВИХІД: чи існує такий, що і і і $x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

Мені незрозуміло, як звести це до вашої проблеми. Одне зауваження, яке може допомогти, - це те, що результат вашої проблеми також залежить лише від сум, а не від точного розташування маток. (Див. Теорему 2.4 в [Рівін, Рішення динамічного програмування проблеми n-Queens, 1992], хоча, можливо, це легко зрозуміти.)

Кнут доводить, що БІНАРНА ЦІГАЛЬНА ТОМОГРАФІЯ є NP-завершеною скороченням від ПРОБЛЕМИ ДВІНЬОГО СТВОРЕННЯ. Це дуже схожа проблема, за винятком трьох розмірів і без діагоналей.

ВХОД: ${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

ВИХІД: чи існує такий, що і і $x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

Стаття Gardnera et al. здається, зменшується від більш стандартних проблем, повних NP. Я недостатньо добре розумію або зменшення, щоб пояснити це тут, тому я просто залишу вказівники зверху, щоб ви вивчили, якщо хочете.

Це все може бути марним, якщо хтось не з’ясує, як звести БІНАРНУ ЦИФРОВУ ТОМОГРАФІЮ до заданого питання.

— Раду ГРИГоре
джерело