Єдина ієрархія проблем, що охоплюють складність та обчислювальні ієрархії

Хтось знає про набір проблем, які рівномірно різняться і охоплюють одну з "цікавих" ієрархій складності та обчислюваності? Під цікавим, я маю на увазі, наприклад, Ієрархію поліномів, Арифметичну Ієрархію чи Аналітичну Ієрархію. А може (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP, $\ldots$

Більш конкретно: Ви можете дати єдиний набір проблем, що характеризують арифметичну ієрархію: . Але вони не завжди є найкориснішими для зменшення фактичних проблем. $0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

З іншого боку, книга Гарела, Козена та Тюріна має набір різних задач, пов'язаних з плиткою, які є NP, $\Pi^0_1$ , $\Sigma^0_2$ та $\Sigma^1_1$ завершеними. Проблеми корисні для показу скорочень, але не зовсім зрозуміло, якщо вони узагальнено рівномірно охоплюють інші рівні ієрархій, в яких вони перебувають.

Хтось знає про такий набір конкретних, рівномірних проблем, які охоплюють ієрархію?

EDIT: Просто для уточнення я знаю, що 3 ієрархії, які я даю, перш за все, мають стандартні визначення з точки зору змінної сили квантора. Це не те, що я шукаю. Я шукаю щось інше, як гра на графіку або пазл, зіграний з накидами.

cc.complexity-theory computability

— Марк Рейтблат
джерело

Існують задачі на основі графіка (наприклад, доступність) та задачі, засновані на логіці (оцінка схеми чи формули першого порядку). ps: Ви намагалися зробити плитку гру між двома гравцями з заданою кількістю раундів або обмеженою обчислювальною потужністю? btw, це може допомогти, якщо ви поясніть, що ви маєте на увазі під словами "рівномірний" та "конкретний".

— Каве

Так, є проблеми з графіками або схемами, які мають різні варіанти на пару рівнів. Але чи можете ви знайти аналоги, повні для всіх рівнів ієрархії? Під формою я маю на увазі, що для підйому в ієрархії ви просто зміните якийсь параметр якимось рівномірним способом. Наприклад, ви збільшуєте кількість X на одиницю, де X - деякий параметр проблеми. Під конкретним я просто неформально маю на увазі доступний. Я не вважаю ієрархії проблеми зупинки особливо доступними. З іншого боку, щось на зразок SAT або QBF є більш конкретним.

— Марк Рейтблатт

Продовжуючи коментарі Каве: така мова також може бути p-ізоморфною для TQBF, якщо хтось не планує довести, що гіпотеза про ізоморфізм Бермана-Хартманіса не спрацьовує на якомусь (або кожному) рівні PH. У цьому випадку це було б дуже тонкою маскуванням, оскільки це було б просто перекодування TQBF, тобто ви записали кількісно визначені формули пропозицій, використовуючи інше булеве кодування.

— Джошуа Грохов

@ Марк: Я не маю доброї інтуїції щодо гіпотези про ізоморфізм. Оригінальний документ БХ припускав, що це може бути правдою; Тоді Джозеф і Янг припустили, що односторонні функції можуть показувати, що це помилково (в основному: застосувати односторонню функцію до SAT, щоб отримати NP-повний набір, який, ймовірно, не ізоморфний для SAT), але тоді Роджерс показав релятивізовані світи, реалізуючи всі чотири можливості: існування односторонніх функцій та гіпотеза про ізоморфізм. Тож я не знаю, чи справді є консенсус на даний момент. Ось документ Роджерса: dx.doi.org.proxy.uchicago.edu/10.1006/jcss.1997.1486

— Джошуа Грохов

(Здається, що стаття Джона Роджерса приблизно на 2 роки пізніше, ніж дискусія в блозі CC, але я не знаю точної історії, коли він отримав результат, на відміну від того, коли він був опублікований.)

— Джошуа Грохов

[Поглиблення розуміння Каве у коментарях.] Мабуть, хтось міг би зіткнутися з сімейством проблем, які суттєво відрізняються від кількісно визначеної булевої формули, не спростуючи PH-аналог гіпотези Бермона-Хартманіса про ізоморфізм Бермана. Без цього будь-яка проблема, яку ви зіткнулися, була б не тільки еквівалентною , але й насправді її ізоморфною. Одним із способів визначення ізоморфізму між двома мовами тут є взяття єдиної абстрактної мови, але кодування її об'єктів (у даному випадку кількісно визначених булевих формул) за допомогою двох різних булевих кодувань. $QBF_k$

З іншого боку, ізоморфізм не обов'язково є хорошим суддею того, що корисно людям придумати докази. Зрештою, в арифметичній ієрархії теорема про ізоморфізм Мейхіла доводить арифметичний аналог гіпотези ізоморфізму БХ (насправді це історія назад, оскільки БГ мотивувала Міхілла). Однак, як вказується на запитання, існує декілька "різного вигляду" характеристик різного рівня, деякі з яких корисніші для доказів, ніж інші.

Хоча здається малоймовірним, що хтось придумає таку єдину родину мов для кожного рівня PH, два опитування ( один , два ) Шефера та Умана обговорюють природні проблеми, які принаймні "виглядають інакше" від QBF протягом перших кількох рівні PH.

— Джошуа Грохов
джерело

Гарне сполучення з БХ. :)

— Kaveh