Оцінка багатолінійної арифметичної схеми?

Нехай $p(x_1,\ldots,x_n)$ є мульти-мірний поліном з коефіцієнтами над полем $F$ . Multilinearization з $p$ , позначимо через , є результатом багаторазово заміни кожного з по . Результат, очевидно, багатолінійний многочлен. $\hat{p}$ $x_i^d$ $d > 1$ $x_i$

Розглянемо наступну задачу: дані арифметичну схему $C(x_1,\ldots,x_n)$ над $F$ і з урахуванням елементів полів , обчислити . $a_1,\ldots,a_n$ $\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

Запитання: Якщо припустити, що арифметика поля може бути виконана за одиницю часу, чи існує алгоритм поліноміального часу для цього? Додано пізніше: Мене також зацікавив би особливий випадок, коли $C$ насправді є формулою (схема вентилятора $1$ ).

cc.complexity-theory polynomials

— slimton
джерело

Чому це було б еквівалентно обчисленню виходу замкнутого контуру? Проблема я зіткнувся в тому , що схема може мати непересічні шляхи від входу

x_{i}

$x_i$ до декількох внутрішніх вузлів множення, і оцінка кожного з цих внутрішніх вузлів множення потребують заміни

x_{i}

$x_i$ по

a_{i}

$a_i$ в одному шляху і

1

$1$ в інших . У схемі з експоненціальною кількістю шляхів, схоже, існує експоненціальна кількість випадків, про які слід потурбуватися.

— slimton

@Kaveh: Я не розумію. Подивіться на схему

. Якщо ви просто замініть вузол введення

вузлом зі значенням

й оцінити стандартним чином ви в кінцевому підсумку повертаються

замість . Модель обчислення: просто нормальний час полінома на машинах Тьюрінга. Подумайте про поле як

для конкретності, якщо хочете.

(x * x)

$(x * x)$

x

$x$

a

$a$

a^{2}

$a^2$

a

$a$

Z / 3 Z

$Z/3Z$

— slimton

@Kaveh: Я не розумію, як такий алгоритм має на увазі сказане вами, але це насправді суперечить загальній гіпотезі щодо складності арифметичних схем: про те, що Перманент не має арифметичних схем полі розміром (над полями, відмінними від F_2). Розглянемо многочлен

. Багатолінійна частина

цього многочлена має властивість, що її найвища ступінь (

) частина - просто

p = \prod_{i} (\sum_{j} x_{i j} y_{j})

$p=\prod_i(\sum_j x_{ij} y_j)$

q

$q$

= 2 n

$=2n$

. Якщо є невелика арифметична схема обчислення

, то можна показати, що є невелика арифметична схема обчислення

r = y_{1} y_{2} \dots y_{n} P e r (x_{11}, \dots, x_{n n})

$r = y_1y_2\cdots y_n Per(x_{11},\ldots,x_{nn})$

q

$q$

r

$r$

— Шрікант

@Srikanth: Я не побачив ваш коментар, перш ніж опублікувати свою відповідь (що виявилося такою ж конструкцією, яку ви дали у своєму коментарі). Відтоді я видалив свою відповідь, і ви можете опублікувати свій коментар як відповідь.

— Джошуа Грохов

@Joshua: Я не додав свій коментар як відповідь, оскільки не розумію, чому будівництво Kaveh працює. Я бачу, що арифметична схема обчислює поліном, який узгоджується з мультилінеаризацією на всіх входах, але я не впевнений, що він обчислює формально мультилінійність даного многочлена (див. Мої коментарі після відповіді Кавеха). Моя конструкція (і ваша) передбачає, що багатолінійна обчислена формально.

— Шрікант

Відповіді:

$F$ $2n$ $F$ $\varphi$ $C$ $p$ $\varphi$ $p$ $\varphi$ $0$ $1$ $q$ $p$ $q$ $p$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

$q$ $\varphi$ $q=0$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$ $q$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

$\varphi$ $q$ $q$ $F$ $q$ $F$

— Шрікант
джерело

Мені здається, що F - це фіксоване поле, тому що на вході немає нічого, що визначає F. Також зауважте, що питання передбачає, що операції з полем займають одиничний час.

— Kaveh

Спасибі Шрікант. Як здогадався Каве, мене справді цікавив випадок фіксованого кінцевого поля, але ця відповідь, яку ви дали, допомагає мені зрозуміти питання дещо краще.

— slimton

$C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ $\vec{a}$ $C$ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $p$ $b_i$ $k$ $b_{i,k}$

$P \subseteq P/poly$ $M$

$C$ $M$ $C$

$F_p$ $x^{p-1}$ $1$ $0$ $p-1$ $f \land g$ $f.g$ $f \lor g$ $f+g-f.g$ $\lnot f$ $1-f$

$F_p$ $b_i$ $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

$F_p$ $\bmod 3$ $2x(x+1)$ $2x(x+2)$ $x \in F_3$

Об'єднання цих ми маємо арифметичну схему над обчислювальної мульти-линеаризацию з розміром polynomail в розмірі . $F_p$ $C$ $C$

— Каве
джерело

Мені незрозуміло, чому описана вами арифметична схема обчислює мультилінеаризацію , або навіть багатолінійний многочлен. Я лише бачу, що арифметична схема обчислює деякий поліном, який узгоджується з багатолінійною на - входах.

C

$C$

C

$C$

0

$0$

1

$1$

— Шрікант

@Srikanth: арифметична версія булевої схеми (з деякими входами виправлена) обчислює багатолінійну версію , вона не повинна бути багатолінійною. Тоді єдина проблема полягає в тому, що вхід / вихід у двійкових, а не значеннях над , тому мені просто потрібно виправити кодування для вводу / виводу з двійкового на вихідне значення вводу та виводу. Отримана схема - це арифметична схема, яка отримує значення для змінних , кодує їх у двійковій формі, обчислює значення багатолінійної на цих входах і виводить відповідь у двійкові, а потім переводить їх назад у .

M

$M$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

— Каве

[Продовження] В результаті це арифметична схема з тим же змінним , що має, і з такими ж виходами, і це обчислення multilinearization з .

C

$C$

C

$C$

— Каве

@Kaveh: Ви припускали, що вхід до булевої схеми має таку ж форму, як і вихід ? У будь-якому випадку я досі не переконаний. Для арифметичної схеми цілком можливо обчислити поліном який узгоджується з поліномом на всіх входах з поля, і все ж . Наприклад, многочлен узгоджується з на всіх входах, і все ж вони не дорівнюють поліномам. Звідки ви знаєте, що схема - це не просто обчислення нелінійного многочлена, який узгоджується з багатолінійною на всіх входах?

M

$M$

M

$M$

f

$f$

g

$g$

f \neq g

$f\neq g$

x^{p}

$x^p$

x

$x$

M

$M$

C

$C$

— Шрікант

@Srikanth: Я описав форму введення та виведення у своїй відповіді. Вхід до є двійковим, вихід у формі, зазначеній вище. Я не сказав , що це полілінейное, я тільки сказав , що він обчислює multilinearization в .

M

$M$

M

$M$ $C$

— Каве