Застосування топології до інформатики

Я хотів би написати опитування щодо застосування топології в інформатиці. Я планую висвітлити історію топологічних ідей у ​​галузі інформатики, а також висвітлити декілька сучасних подій. Було б дуже корисно, якби хто-небудь міг дати інформацію щодо будь-якого із наведених нижче питань.

1. Чи є документи чи замітки, які описують хронологію використання топології в інформатиці?

2. Які найважливіші приклади результатів з топології до інформатики?

3. Які найцікавіші сфери поточної роботи, які використовують топологію для отримання розуміння обчислень?

Дякую!

Особисто я вважаю, що найцікавішим застосуванням топології була робота, виконана Герлігієм та Шавітом. Вони використовували алгебраїчну топологію для характеристики асинхронного розподіленого обчислення та дали нові докази важливих відомих результатів та усунули ряд давніх відкритих проблем. Вони виграли премію Годеля 2004 року за цю роботу.

"Топологічна структура асинхронних обчислень" Моріса Херліхі та Ніра Шавіта, журнал АСМ, Vol. 46 (1999), 858-923,

Топологія - це така зріла дисципліна з різноманітними підполями, включаючи геометричну, алгебраїчну, метричну, крапкову і безглузду топологію. Інформатика також досить широка і має безліч математичних під-областей, тому я б очікував багато застосувань топологічних ідей в КС. Маршалл Стоун сказав "завжди топологізувати", а комп'ютеристи з необхідним досвідом часто мають. Досить бла. Кілька прикладів.

Ці приклади не є лише важкими проблемами CS, вирішеними топологією. Іноді топологічне поняття дуже добре переходить у налаштування CS або дає підставу для під-області CS.

1. Теорема компактності логіки пропозицій є наслідком теореми Тихонофа. Компактність логіки першого порядку зазвичай доводиться по-різному. Компактність є важливим інструментом класичної теорії моделей.

2. Теорема уявлення Стоуна для булевих алгебр стосується моделей логіки пропозицій, булевих алгебр та певних топологічних просторів. Результати подвійності кам'яного типу отримані для структур, що використовуються в алгебраїчній логіці та семантиці мови програмування.

3. Нік Піппенгер застосував теорему Стоун до булевої алгебри регулярних мов і використав топологію для доведення кількох фактів про регулярні мови. Дивіться коментар Жана-Еріка Піна щодо останніх робіт з топології в теорії мови.

4. У формальних методах існують поняття безпеки та життєдіяльності. Кожна властивість лінійного часу може бути виражена як перетин властивості безпеки та життєдіяльності. Доказ використовує елементарну топологію.

5. Мартін Ескардо розробив алгоритми та письмові програми для пошуку нескінченних наборів. Я вважаю, що компактність є ключовим компонентом цієї роботи.

6. Робота польських топологів (таких як Куратовський) дала нам операторів закриття. Оператори закриття ґрат - важлива частина теорії абстрактної інтерпретації, яка лежить в основі статичного програмного аналізу.

7. Оператори закриття та інші топологічні ідеї є основою математичної морфології.

8. Поняття внутрішніх операторів також з польської школи важливе в аксіоматизації модальної логіки.

9. Багато інформатики базується на графських структурах. Деякі програми вимагають більш багатих уявлень про зв'язок і потоки, ніж ті, які надають графіки та топологія, є природним наступним кроком. Це моє прочитання вищих розмірних автоматів Ван Глаббека в теорії одночасності та застосування геометричної топології Еріка Гобо до семантики паралельних програм.

10. Можливо, додатком, який отримує найбільше преси, є застосування топології (спочатку алгебраїчна, хоча існує і більше комбінаторних презентацій) для характеристики певних сценарій відмовостійкості в розподілених обчисленнях. Окрім згаданих вище Герліхія та Шавіта, Боровський та Гафні, Сакс та Захаруглоу також дали проосф за перший такий прорив. Асинхронна рамка обчислюваності дала більше таких результатів.

11. Теорема фіксованої точки Брууера породила кілька проблем, які ми вивчаємо. Зовсім недавно при вивченні алгоритмічної теорії ігор клас складності PPAD та клас складності FixP задач з фіксованою точкою.

12. Теорема Борсук-Улам має кілька застосувань до графіків та метричних вкладень. Вони висвітлені у книзі Іржі Матушека.

Це мізерні збори у тому, що там є. Удачі!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-розрахунок. Семантика принципово ґрунтується на понятті наближення, заданому впорядкуванням, і рішенням рівнянь з найменшою фіксованою точкою та рішеннями, як правило, гарантовано існують.

Виникнення денотаційної семантики - це зв'язки з абстрактною інтерпретацією, аналізом та верифікацією програм.

Поточні дослідження включають надання денотаційної семантики для одночасності та квантових мов.

Абрамський та Юнг дають хороший огляд основних ідей: Теорія домену .

На кількох нижніх межах на алгебраїчних обчисленнях та деревах рішень використовуються межі кількості сполучених компонентів і, загалом, чисел Бетті, напівалгебраїчних різновидів та розташування гіперплощин (та їх доповнення). Для кількох великих посилань дивіться:

Майкл Бен-Ор, Нижні межі для алгебраїчних обчислювальних дерев, STOC 1983, стор. 80-86.

Ендрю Чі-Чи-Яо, складність дерева рішень та числа Бетті, Дж. Обчислення. Система Sci. 55 (1997), вип. 1, ч. 1, 36–43 (STOC 1994).

Андерс Бьорнер та Ласло Ловаш, лінійні дерева рішень, розташування підпросторів та функції Мобіуса, Дж. Амер. Математика. Соц. 7 (1994), вип. 3, 677-706.

У іншому, але дещо спорідненому руслі Смайл досить цікаво використовував топологію (зокрема, когомологію групи коси), щоб знизити складність пошуку коренів у моделі Блюма-Шуба-Смайла:

Смайл, С. Про топологію алгоритмів, Складність IJ, 3 (2): 81-89, 1987.

$2^{\omega}$ .

Це пов'язано з теорією відповідей та домен Дейва. Основний аргумент тут полягає в тому, що обчислюваність по суті заснована на локальних операціях та кінцевих спостереженнях . Ви можете вважати обчислюваність як уточнене поняття топології. Найяскравіший приклад:

Всі обчислювані функції (оракул Тьюрінг) безперервні. З іншого боку, кожна безперервна функція є оракулом, який Тюрінг обчислюється відповідним оракулом.

Більше ви можете знайти в книзі Клауса Вайрахуха "Обчислювальний аналіз". Ви також можете поглянути на приємну книгу Стівена Вікерса під назвою "Топологія через логіку".

Ще два документи, які можуть бути актуальними для вашого опитування ...

М. Герке, С. Григор’єв, Ж.-Є. Пін, Топологічний підхід до розпізнавання, ICALP 2010, частина II, Записки лекцій з інформатики 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

М. Герке, С. Григор’єв, Ж.-Є. Пін, Дуальність та рівняльна теорія регулярних мов, Нагорода за найкращу папір ICALP 2008, Трек B, ICALP 2008, Частина II, Записки лекцій з інформатики 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

Не забувайте про гіпотезу Кнізера та доказ Кан / ​​Сакс / Стертевант для гіпотези Андерра-Розенберг-Карп.

Ніколи не бачив згаданої роботи Роберта Гріста , колишнього в штаті Іллінойс, але зараз в штаті У Пенн, застосовуючи топологію до таких матеріалів, як сенсорні мережі та робототехніки. Ось приємне інтерв'ю.

Також дуже пов'язаний з роботою Гуннара Карлссона та ін над застосуванням топології для аналізу даних .

Можливо, не STOC / FOCS TCS, але, безумовно, інформатика.

Теорії для розуміння одночасності та моделювання паралельних обчислень найкраще розуміти топологічно. Окрім відомої роботи Герліхія та Шавіта про топологічну структуру обчисленості асинхрології, згаданої в попередній відповіді - Ерік Гобо провів роботу з моделювання паралельності з геометрією, а також Пратт роботи над застосуваннями просторів Чу для одночасності групи Стенфордської конкурсійної групи хоча я не знайомий з їх роботою.

Всі роботи, розпочаті Китаєвим над топологічним підходом до квантового комп'ютера, стійкого до відмов. Дивіться оригінальний документ Китаєва або, наприклад, конспекти лекцій Джона Прескілла .

Ще ніхто не згадав спрямовану алгебраїчну топологію , яка була насправді розроблена для забезпечення відповідного алгебраїчного топологічного інструментарію для вивчення паралельності.

Існує також кілька низькомірних топологічних підходів до тем у теорії обчислення, всі досить нові:

• Різні підходи до анонічних квантових обчислень, що відрізняються відмовою, засновані на теорії коси. Дивіться, наприклад, ТУТ і ТУТ . Також до мереж адіабатичних квантових обчислень ТУТ .
• Діаграматичні формалізми на основі топології для обчислення лямбда (наприклад, ТУТ , стор. 46-48 та ТУТ ) та пікантного обчислення Мілнера ( ТУТ ).
• Використання конкатенації кольорових качанів для моделювання рекурсії та ланцюгів Маркова. Дивіться, наприклад, ТУТ і ТУТ . Насправді доведено (неопубліковано), що будь-який обчислення машини Тьюрінга та будь-яка періодична нейронна мережа першого порядку може бути змодельований таким чином.
• Існує теоретичний формалізм вищої категорії для квантових обчислень, в якому топологічні діаграми представляють обчислення, а топологічно-еквівалентні діаграми представляють різні процедури з однаковим обчислювальним змістом. Дивіться ТУТ .

Деякі програми до вбудовування метрик.

Перевірте цю книгу Матусека: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Також ознайомтеся з цими паперами:

• Вбудовування Бі-Ліпшица в маломірні евклідові простори, Дж. Матусек (1990) (Він використовує теорему ван Кампена для доведення нижньої межі)
• Неприкладність для вбудовування метрики в R ^ d, Дж. Матусек та А. Сидіропулос

читати цю книгу:

Перегляньте його заархівовану веб-сторінку

Перевірте цю книгу, Комп'ютерна складність: Кількісна перспектива, він вивчає розмір деяких класів складності, використовуючи обмежені ресурсами топологічні інструменти.

$P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$