Набори ступенів для лінійних графіків розширення

Лінійне розширення з ч.у.м. є лінійним порядком на елементах , такі , що в тягне в для всіх . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

Лінійне розширення граф являє собою графік , на безлічі лінійних розширень відвідати, де дві лінійних розширення є суміжними , якщо вони точно ді ер і далі в одній суміжній підкачування елементів.

На наступному малюнку представлена поема, відома як -позначення, та її лінійний графік розширення, де . $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

alt текст (Ця цифра взята з твору .)

Вивчаючи графіки лінійного розширення (LEG), ви можете придумати ідею (гіпотезу), що якщо - максимальний ступінь LEG, - відповідно мінімальний градус, то набір ступенів будь-якого LEG складається з та кожне натуральне число між ними. Наприклад, візьмемо позе, відомий як шеврон, тоді в його LEG з і , а також, відповідно на нашу думку, у графіку містяться вершини зі ступенями 4 та 3. Отже, питання полягає в тому, чи можна довести чи спростувати цю здогадку? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

Про LEG та як вони виглядають можна прочитати в дисертації Mareike Massow тут . Шеврон та його ЛЕГ можна побачити на сторінці 23 дисертації.

На наборах ступенів розміщена класична стаття " Набори ступенів для графіків " Kapoor SF et al.

graph-theory co.combinatorics

— Олександр Бондаренко
джерело

що таке лінійний графік розширення? тобто ви можете скласти визначення у питання, щоб воно було трохи більш самостійним?

— Суреш Венкат

Ця здогадка мила. Чи є мотивація чи відомі додатки для гіпотези? (Скажіть скорочення для іншої

— думки

@ Hsien-Chih Chang Мотивація цієї гіпотези - коли доведемо її, ми дізнаємось вміст ступеня, встановлену лише знаючи максимальний та мінімальний градуси заданого графіка лінійного розширення.

— Олександр Бондаренко

Я думаю, я це довів учора. Таким чином, тут іде ескіз доказу. Спочатку доведена наступна лема.

Лемма . Нехай - частковий порядок, - його лінійний графік розширення, а - дві сусідні вершини . Тоді . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

Ескіз доказу.

У той же час, є лінійними розширеннями таким чином, що одне з них, скажімо , може бути перетворене в одним транспозицією сусідніх елементів (сусіднє переміщення). Легко помітити (розглянемо, наприклад, і з наведеного вище рисунка), що будь-який елемент будь-якого лінійного розширення може змінити кількість незрівнянних суміжних елементів на щонайбільше два: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

Якщо можна взагалі перенести, то принаймні один його сусід, скажімо , є незрівнянним з ним ( , якщо порівняти, то ). Примітка: перед транспозицією маємо і відразу після - $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ . $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
Розглянемо, як може змінюватися кількість незрівнянностей (ступінь лінійного розширення як вершина в ) у Розглянемо спочатку пару . Для той самий висновок випливає із симетрії. $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

Якщо , то не змінюється. Якщо , то $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ збільшується (зменшується) на один. Ескіз доказування завершений. $deg(L)$

Теорема . Нехай - лінійний графік розширення. Якщо містить вершини з , то таким, що $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ . $deg(v_3)=k+1$

Ескіз доказу.

Припустимо, суміжні з , інакше будь-яка вершина зі ступенем в суміжна з деяка вершина, якщо така існує зі ступенем . $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

Розглянемо випадок, коли маємо з попередньої леми таким, що $L_1,L_2$

х_{i + 1} ⊥ х_{i + 2} \land х_{i} ∥ х_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

х_{i - 1} ⊥ х_{i} \land х_{i - 1} ∥ х_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

Таким чином, . $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

$x_{i+1}$ $x_1$

х_{j} ⊥ х_{i + 1} \land х_{i + 1} ∥ х_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$

j < i - 1

$j<i-1$

— Олександр Бондаренко
джерело

У доведенні теореми я не дотримуюся першого речення. Щодо нотації, я зазвичай бачив

x \sim y

$x \sim y$ використовується для позначення цього

x

$x$ і

y

$y$ порівнянні.

— Андрас Саламон

@ András Salamon Я додав уточнення (ступеня

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$ ) до першого речення доведення теореми.

— Олександр Бондаренко

@ Андраш Саламон

x ⊥ y

$x\perp y$ використовується таким же чином, наприклад, тут: smartech.gatech.edu/bitstream/1853/33810/1/…

— Олександр Бондаренко