Цікаво про комп'ютерні докази повноти NP

У роботі "СКЛАДНІСТЬ ПРОБЛЕМ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ" Томаса Дж. Шефера автор зазначив, що

This raises the intriguing possibility of computer-assisted NP-completeness proofs. Once the researcher has established the basic framework for simulating conjunctions of clauses, the relational complexity could be explored with the help of a computer. The computer would be instructed to randomly generate various input configurations and test whether the defined relation was non-affine, non-bijunctive, etc.

Звичайно, це обмеження:

The fruitfulness of such an approach remains to be proved: the enumeration of the elements of a relation on lO or 15 variables is Surely not a light computational task.

Мені це цікаво

1. Чи проводяться подальші дослідження щодо розробки цієї ідеї "комп'ютерних доказів NP-повноти"? Що є сучасним (може бути специфічним для або 3-розділу )? Оскільки Шефер запропонував ідею "комп’ютерного" підтвердження NP-повноти (принаймні для скорочень від SAT ), чи означає це, чи існують деякі загальні принципи / структури, що лежать в основі цих скорочень (для тих, які є з 3SAT або 3-Partition )? Якщо так, то що вони? $\textsf{3SAT}$$\textsf{3-Partition}$
   $\textsf{SAT}$$\textsf{3SAT}$$\text{3-Partition}$
2. Хтось має досвід доведення повноти NP з комп'ютерним помічником? Або хтось може скласти штучний приклад?

Що стосується питання 2, то принаймні два приклади доказів незавершеності, які стосуються комп'ютерного помічника.$NP$

Еріксон і Раскі забезпечили комп'ютерний доказ того, що покриття Доміно Татамі не є повним. Вони дали скорочення поліноміального часу від планарного 3-SAT до покриття татамі доміно. SAT-вирішувач (Minisat) був використаний для автоматизації пошуку гаджетів у скороченні. Немає іншого повнота доказ для нього відомо.$NP$

Ruepp і Holzer довели, що головоломка олівця Kakuro є -комплектною. Деякі частини докази N P- неповноти були згенеровані автоматично за допомогою SAT-рішення (знову Minisat).$NP$$NP$

У цій роботі я показав, що якщо для деякого є графік з максимальним ступенем k та міцністю хроматичного краю, суворо більший за k , то Θ p 2 -повне, щоб вирішити, чи міцність хроматичного ребра дорівнює k . Такі графіки були відомі для k > 3, і я здійснив комп'ютерний пошук, щоб знайти відповідний 12- верхній графік для k = 3 .$k\geq 3$$k$$k$$\Theta_2^p$$k$$k>3$$12$$k=3$

Складність хроматичної міцності та міцності хроматичного краю. Обчислювальна складність, 14 (4): 308-340, 2006

З коментаря вище:

Я використовував бібліотеку Choco Java для програмування обмежень, щоб перевірити правильність поведінки гаджетів, що використовуються для доведення NP-повноти наступних головоломок: Бінарний пазл, Намети, головоломка з кубиком без вільних комірок, Net. Я ще не встиг їх опублікувати, але проекти документів доступні в моєму блозі.

Використовувана техніка схожа: усі ці головоломки можуть бути змодельовані як сітчастий графік, у якому кожен вузол може містити інший елемент (наприклад, у двійковій головоломці елементами є: порожня клітинка, фіксований 0, фіксований 1, 0, 1), правила головоломки дозволяють або забороняють деякі (локальні) конфігурації (наприклад, у двійковій головоломці допускається не більше двох с або 1 с поруч або під ними). Потім, щоб довести NP-повноту, достатньо побудувати квадратний n × n гаджет, який імітує:$0$$1$$n \times n$

(A) логічний затвор (AND + OR) та посилання, якщо ми хочемо використовувати PLANAR SAT в якості вихідної проблеми NPC; або

(B) вузол 3 ступеня, в якому рівно 1 вхід і 1 вихід можуть бути активовані одночасно, якщо ми хочемо використовувати ГАМИЛТОНСЬКИЙ ЦИКЛ на сіткових графіках як вихідну проблему NPC (зауважте, що в цьому випадку повинна бути інша умова, яка змушує "пов'язаний шлях").

В обох випадках ми використовуємо початкову конфігурацію, яка фіксує межі гаджетів (щоб заборонити небажану взаємодію), і ми допускаємо взаємодію двох суміжних гаджетів лише через центральний елемент (або групу елементів). Конфігурація такого центрального елемента повинна представляти логічне значення у випадку (A) або перехід у (B) випадку.

Наприклад, для моделювання І:

***C***   *=fixed elements (initial config. of the puzzle)
*xxxxx*   x=internal logic (some elements can be fixed,
AxxxxxB     other must be completed/traversed)
*xxxxx*   A,B,C=elements shared with adjacent gadgets
*******

На цьому етапі, щоб перевірити гаджет за допомогою розв'язувача SAT (краще використовувати CPL), досить виконати правила головоломки, а потім перевірити відповідність, коли A, B, C приймають усі можливі комбінації значень; і подивіться, чи відповідають вони бажаній поведінці. Наприклад, у випадку AND у всіх допустимих (задовольняються) конфігураціях гаджета, в яких C є істинним (C являє собою значення логічного значення true), і A, і B повинні бути істинними.

Якщо гаджети дуже складні (наприклад, у головоломці Rolling cube), я думаю, що це єдиний спосіб переконатися, що вони працюють правильно (і що доказ NPC є правильним).

Я робив це саме те, що було підтверджено комп’ютерною підтримкою NP-повноти, у своїй дипломній роботі!

Погана частина - це російською мовою і не перекладається на англійську. http://is.ifmo.ru/diploma-theses/_dvorkin_bachelor.pdf

Я працював з логічними воротами в 2D-проблемах. План такий:

• Вручну спроектуйте, як виглядає «дріт» у вашій проблемі.
• Використовуйте дуже розумний та оптимізований пошук (насправді динамічне програмування на наборах профілів), щоб автоматично спроектувати всі необхідні логічні ворота.
• ПРИБУТЬ!

Код доступний, до речі: https://code.google.com/p/metadynamic-programming/

Таким чином, вручну працюючи лише над розробкою дроту та кодуванням правил конкретної задачі 2D, я зміг довести NP-повноту:

• Тральщик
• Покриття області горизонтальними доміно та вертикальними тримінозами
• $k$$k \ge 4$$k \in [4,6]$

запитуючий зазначив, що він у порядку з більш широким тлумаченням заяви Шефера у відповіді. випадково збирали посилання на блог на сусідню тему, і тут щось напишу.

оригінальне твердження (сек. 7 p225) зрозуміло в своїх намірах, як це проілюстровано на прикладі повного зменшення NP з 2 кольорових ідеальних збігів thm 7.1, використовуючи "дихотомію thm" 2.1.

$F(x)$

$F(x)$$x$

приймаючи широкий POV цих загальні ідеї можна побачити, виросли і були вивчено в багатьох областях досліджень , оскільки ці 1978 Musings / «насіннєвих ідей» призводить до цілим великим галузях і науково - дослідницьких програм, триває до сих пір, жоден з яких існували практично в будь-якій формі під час написання папери Шафера. 1 - ^й одна загальна ідея полягає в емпіричному аналізі NP властивостей повноти через генератори примірника / вирішувач / аналізатори .

• Найбільша науково-дослідна область, що породилася тут, - це випадкові випадки SAT і дивлячись на ефективність вирішення SAT на них, що призвело до відкриття точки переходу в середині 1990-х, пізніше показано, що вона має глибокі зв'язки зі статистичною фізикою та, очевидно, всюдисущий / внутрішньо / фундаментальний аспект / характерна для всіх повних проблем НП. в цій галузі дуже багато робіт, а зараз декілька книг. див., наприклад, Інформація, фізика та обчислювальний механізм / Монтанарі

• Розв’язування задач на задоволення або Використання графіків для кращого розуміння проблем задоволеності , Herwig 2006 (83pp). Це дещо новий підхід до іншого опублікованого дослідження, яке розглядає структуру графів змінних застережень згенерованих екземплярів SAT та аналізує їх структуру / метрику, щоб знайти кореляції з твердістю.

• можна взяти задумані проблеми і кодувати їх як екземпляри SAT, а потім вивчити їх структуру або запустити на них SAT-рішення та спостерігати за динамічною поведінкою вирішувачів SAT. це не просто зрозуміти, коли це було 1-го зроблено, але ранній випадок - з факторингом, ймовірно, в середині 1990-х або близько того, і ці випадки виявилися на конкурсах вирішувачів DIMACS SAT. на жаль, в цей час це не обов'язково розглядалося окремо оприлюдненими результатами досліджень. в декількох документах про САТ є алюзії.

  див., наприклад, Задовольнити це: Спроба вирішити основну факторизацію за допомогою вирішувачів задоволеності Штефана Шенманкера, Анни Кавендер, а також cs.se питання, що зводить проблему множинної факторизації до повної задачі NP & (є деякі інші пов'язані / розпорошені (T) CS питання стак-обміну на це).

2 - ^й інше сучасне загальна ідея / Насіння властивого Schaefers старого твердження нападаючи жорсткі алгоритмічні або математичні задачі в цілому шляхом перетворення їх в випадки SAT, і використання поза-полки (але впроваджений) SAT вирішувачі (тобто Розв’язання SAT можна розглядати як буквально один із найдавніших випадків логіки / математики комп'ютерної автоматизованої теореми, що доводить, де рішення формули SAT - це як "теореми", хоча, правда, сучасний pov на цьому, можливо, трохи змінився) і є деякі помітні останні успіхи на цьому фронті.

• проблема Erdos Розбіжність пов'язано з обмеженнями на випадкових блукань дуже важко , і прогрес був обмежений з аналітичними підходами, і роман / безпрецедентний, емпіричний підхід з SAT недавно був узятий для досягнення деяких ключових результатів на родинному відкритих проблем, що відзначається багатьма як справжній прорив. напад САТ на припущення про розбіжність Ердоса Конева, Лісиця

• Дослідження оптимальних сортувальних мереж триває десятиліттями, і існують природні важко відкриті проблеми з мінімальними розмірами мереж для сортування заданої кількості елементів. протягом останніх кількох років останнім часом було досягнуто значного прогресу в перетворенні їх на екземпляри SAT та запуску стандартних рішень на них. Нові межі щодо оптимального сортування мереж Елерс, Мюллер, також цитує інші останні роботи.