Якби P = NP були правдивими, чи були б корисні квантові комп'ютери?

29

Припустимо, що P = NP вірно. Чи було б тоді якесь практичне застосування для побудови квантового комп'ютера, такого як швидше вирішення певних проблем, чи будь-яке таке вдосконалення було б неактуальним, виходячи з того, що P = NP є правдою? Як би ви характеризували підвищення ефективності, який би стався, якби квантовий комп'ютер міг бути побудований у світі, де P = NP, на відміну від світу, у якому P! = NP?

Ось складений приклад того, що я шукаю:

Якщо P! = NP, ми бачимо, що клас складності ABC дорівнює класу квантової складності XYZ ... але якщо P = NP, клас ABC в будь-якому випадку руйнується до відповідного класу UVW.

(Мотивація: мені цікаво це і відносно нове в квантових обчисленнях; будь ласка, перенесіть це питання, якщо воно недостатньо розвинене.)

cc.complexity-theory complexity-classes quantum-computing

— Філіп Уайт
джерело

9

Ми не знаємо, чи означає , що в може виникнути якась проблема , якої немає в навіть якщо .. .. Це навіть відкрите питання, чи є в ....

P = N P

${P}={NP}$

B Q P = P

${BQP}={P}$

B Q P

${BQP}$

P

${P}$

P = N P

${P}={NP}$

B Q P

${BQP}$

P H

${PH}$

— Tayfun Pay

4

Більш того, клас фіксує "ефективні" квантові алгоритми (квантовий поліном часу з обмеженою помилкою). Ось чому формалізація Вашим запитанням Tayfun є природною, наприклад, якщо , чи є проблеми ще не в , а в ? І, мабуть, це відповідає нашим теперішнім знанням, що це відбувається.

B Q P

$BQP$

P = N P

$P=NP$

P

$P$

B Q P

$BQP$

— usul

30

Документ " BQP та поліноміальна ієрархія " Скотта Аронсона безпосередньо стосується вашого питання. Якщо P = NP, то PH руйнується. Якщо крім того, BQP знаходився в PH, то жодне квантове прискорення було б неможливим у такому випадку. З іншого боку, Ааронсон дає свідчення про проблему з квантовим прискоренням за межами PH, таким чином таке прискорення переживе крах PH.

— Мартін Шварц
джерело

10

Насправді сам Ааронсон довів, що думка, яку він ґрунтував на цій роботі, помилкова. Дивіться scottaaronson.com/papers/glnfalse.pdf

— Алекс

5

@AlexGrilo Деякі результати в роботі були безумовними і все ще стоять: між реляційними версіями BQP та PH існує розділення оракул.

— Сашо Ніколов

8

Пояснення: хоча «Узагальнена лінійно-нісанська конфігурація» виявилася помилковою, припущення, що проблема перевірки Фур’є / «Належність», відсутня в PH, все ще залишається в силі. Просто для підтвердження цього знадобиться якийсь інший підхід. Крім того, я можу підсилити свій результат, що існує оракул, щодо якого є проблеми відношення BQP, а не в BPP ^ PH, щоб показати, що існує оракул відносно якого P = NP, але все ж проблеми BQP стосуються не в BPP . Це просто розширення, але, на жаль, я його ще не написав.

— Скотт Ааронсон

9

Відповідь - однозначне "так". Квантові комп'ютери, безумовно, все-таки будуть корисні.

Квантові комп'ютери - це не оракули для BQP, а скоріше пристрої, які обробляють квантові стани і можуть спілкуватися, використовуючи квантові стани. Так само, як можливість робити недетерміновані запити в принципі більш потужні, ніж здатність робити чисто детерміновані запити, незалежно від статусу P проти NP (і це дійсно є коренем поділу оракул), можливість робити квантові запити і спілкуватися за допомогою квантових станів принципово потужніше, ніж суто класичний аналог.

Це призводить до переваг у широкому діапазоні застосувань

Можливість запиту оракул або зовнішніх баз даних в суперпозиції забезпечує доказовий поділ між квантовими комп'ютерами та класичними комп'ютерами за рівнем складності запитів.
Існує безліч завдань комунікації, які бачать різкі скорочення витрат на комунікацію, які використовуються квантові комунікації.
Квантова обробка інформації дозволяє використовувати теоретично захищені протоколи інформації для більш широкого кола проблем, ніж це можливо класично. Безумовно, QKD не вимагає впровадження універсального квантового комп'ютера, але багато протоколів для інших завдань.
Попередня та післяобробка великих заплутаних квантових станів дозволяє порушити межу шум пострілу в метрології, в результаті чого більш точні вимірювання.

Окрім аргументів складності, є ще одна практична причина бажати квантових комп'ютерів. Значна частина даних, що обробляються на класичних комп’ютерах в наші дні, походить від зондування природного світу (наприклад, через CCD у цифровій камері). Однак такі вимірювання обов'язково викидають певну інформацію про систему, щоб зробити результат вимірювання класичним бітовим рядком (наприклад, руйнуючись просторові накладки фотонів), і не завжди зрозуміло, яка інформація згодом буде вважатися найбільш важливою, коли спочатку запис даних. Тому розумно вважати, що здатність безпосередньо зберігати та обробляти квантові стани, а не згортати їх на якійсь основі перед обробкою, стане все більш бажаною.

— Джо Фіцсімонс
джерело

4

Звернення до практичної частини.

$P=NP$ $O(n^{2^{10^3}})$

$O(n^{10^{10000}})$

Наскільки я можу сказати, досить потужний квантовий комп'ютер буде представляти практичний інтерес у цій справі.

— жоро
джерело

n^{2^{10^{3}}}

$n^{2^{10^3}}$

@SashoNikolov Я звернувся до практичного . Квантовий комп’ютер, який ефективно працює на 2048 бітових цілих числах, був би для мене зараз практичним інтересом через ключі RSA;).

— Жоро

Я вважаю, що можна отримати лінійні алгоритми сортування часу за допомогою квантових комп'ютерів.

— Baby Dragon

2

Існують дослідження у зв’язку між BQP та поліноміальною ієрахією PH. Наприклад, існує проблема, щодо якої BQP не міститься в PH ( http://arxiv.org/abs/0910.4698 ), і припущення, яке підтверджує той же результат у нереалізованому світі ( http://arxiv.org /abs/1007.0305 $P^{\# P}\subseteq BPP^{PH}$

На закінчення ми не знаємо, яка точна потужність квантових комп'ютерів, але є результати, що дозволяють припустити, що BQP може бути поза PH.

— неофіт
джерело