Квантове множення матриці?

Не здається, що це відомо - але чи є якісь цікаві нижчі межі щодо складності множення матриць у моделі квантових обчислень? Чи є у нас інтуїція, що ми можемо перемогти складність алгоритму Копперсміта-Винограда за допомогою квантових комп'ютерів?

reference-request quantum-computing matrix-product

— Генрі Юен
джерело

Відповіді:

У arXiv: quant-ph / 0409035v2 Бурман і Шпалек представляють квантовий алгоритм, що б'є алгоритм Копперсміта-Винограда у випадках, коли у вихідній матриці є кілька ненульових записів.

Оновлення: Існує також дещо вдосконалений квантовий алгоритм Дорна та Тірауфа .

Оновлення: Існує вдосконалений квантовий алгоритм, який Ле Голл бив Бурмана та Спалека в цілому.

— Мартін Шварц
джерело

Це було для мене новим (я мало знаю про квантові результати), але, поглянувши на папір, результат був ще більш дивовижним! Якщо для матричних множень, у є ненульові записи, продукт можна обчислити у підквадратичний час, .

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Даніель Апон

Існує незначне поліпшення цього для особливого випадку булевого матричного добутку, хв { }, коли є

нульові знаки у виході. (Це з'явилося в нашому документі FOCS'10 `` Субкубічні рівноваги між проблемами шляху, матриці та трикутника ''.)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

Недавнє удосконалення до

в разі булевої матриці продукту arxiv.org/abs/1112.5855 , з також відповідними нижніми межами.

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— Абель Моліна

$v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Джо Фіцсімонс
джерело

v^{'} X Y v

$v'XYv$

@Aram: Добрий момент! Я знаю, що ваш алгоритм працює для розріджених матриць, але я мав враження, що він може змусити працювати і для певних нерідких матриць. Це правильно?

— Joe Fitzsimons

Так, це працює для непростих матриць, коли ми знаємо хороші способи моделювання цих гамільтонів. Тож, можливо, тут можливо щось нетривіальне.

— Арам Харроу

@Aram: Чи не використовуємо кодування, яке ви використовуєте, перетворення Фур'є всіх малих матриць через QFT?

— Джо Фіцсімонс

@Joe: Я щойно це помітив. Так, ті матриці (які можна вважати рідкими на основі імпульсу) також можна використовувати. Це не є єдиним для нашого алгоритму. Скоріше це твердження про клас Гамільтоніан, які ми знаємо, як імітувати на квантовому комп'ютері.

— Арам Харроу