Складність перевірки наявності двох CNF однакової кількості рішень

Давши два CNF, якщо вони мають однакову кількість завдань, щоб зробити їх правдивими, відповідь "Так", інакше відповісти "Ні".

Це легко помітити в , оскільки, якщо ми знаємо точну кількість рішень для цих двох CNF, ми просто розставляємо їх і відповідаємо "Так" або "Ні". $P^{\#P}$

У чому полягає складність цієї проблеми?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— Майк Чен
джерело

Відповіді:

Проблема полягає в тому CONP -Жорсткий; ви можете легко звести проблему UNSAT до цієї проблеми.

Більш точна характеристика полягає в тому, що проблема є C ₌ P -повною. Насправді, одне визначення класу C ₌ P полягає в тому, що саме клас задач є поліноміально-багаторазовим, який можна звести до цієї самої проблеми (зазвичай це визначення висловлюється з точки зору функцій GapP ). Але оскільки це не дуже говорить, дозвольте мені визначити цей клас по-іншому.

Нехай C ₌ P - клас задач, які багаточленно-багатократно зводяться до наступної задачі: з урахуванням булевої схеми φ та цілого числа K (у двійковій) вирішіть, чи дорівнює кількість задовольняючих задань φ рівній K . Стандартним скороченням, яке показує # P-повноту # 3SAT, ми можемо обмежити φ формулою 3CNF, не впливаючи на клас. Клас C ₌ P містить клас під назвою US , який містить і UP, і coNP.

З цим визначенням ваша проблема є C ₌ P-завершеною. Власне, твердість C ₌ P легко зрозуміти з визначення класу C ₌ P (який використовує формули 3CNF).

Щоб довести приналежність до C ₌ P, припустимо, що ми маємо вирішити, чи мають дві задані формули CNF φ ₁ і φ ₂ однакову кількість задовольняючих завдань чи ні. Без втрати загальності можна припустити, що дві формули мають однакову кількість змінних, скажімо, n . Побудуйте булеву схему φ, яка приймає за вхід n +1 біт, так що число задовольняючих задань φ дорівнює c ₁ + (2 ⁿ - c ₂ ), де c ₁ і c ₂бути числами задовольняючих призначень φ ₁ і φ ₂ відповідно. Тоді число задовольняючих задань φ дорівнює 2 ⁿ тоді і тільки тоді, коли c ₁ = c ₂ .

— Цуйосі Іто
джерело

@Kaveh: Чи можете ви детальніше?

— Цуйосі Іто

@Kaveh: Ні, ми не хочемо цього. Ми хочемо вирішити, чи мають φ_1 і φ_2 однакову кількість задовольняючих завдань, не обов’язково однакову множину задовольняючих завдань.

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi: Виходячи з вашого визначення

, чи GI в

? Я думаю , що принаймні GI

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— Майк Чен

@Mike: Дякую за цікавий коментар. Ви говорите про результат, що графічний ізоморфізм ∈ SPP (Arvind and Kurur 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002 )? Якщо так, ви маєте рацію; SPP міститься в

, так що ізоморфізм графів ∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Цуйосі Іто

@Mike: Я дізнався, що до результату GraphIso∈SPP було відомо, що GraphIso ∈ LWPP : Köbler, Schöning і Torán 1992 . Оскільки LWPP ⊆ WPP ⊆

, ми не потребували в сильніший результат, Арвінд і Kurur сказати , що GraphIso∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Цуйосі Іто

$O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

$M$ $\varphi$ $\varphi$

$M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

$M^O$

— М. С. Дусті
джерело

Пробачте моє незнання, але як ви формуєте формулу із заздалегідь заданою кількістю рішень?

— Джорджіо Камерані

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$ has

2^{i}

$2^i$ satisfying assignments (the variables

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$ are free), and for

i \neq j

$i\ne j$ , the satisfying assignments of

F_{i}

$F_i$ and

F_{j}

$F_j$ are disjoint due to the

y

$y$ variables. The formula

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$ has

M

$M$ satisfying assignments.

— mikero

Note that it is PP-complete to decide whether, given two CNF formulas f_1 and f_2, f_1 has more satisfying assignments than f_2 or not.

— Tsuyoshi Ito

@mikero: Ah, stupid me! I should have imagined that. Thanks for your illuminating explanation.

— Giorgio Camerani

It seems like it's atleast NP-hard as one can easily construct a SAT formula with just one solution. Then by the Valiant-Vazirani theorem, there's a probabilistic reduction from every SAT formula to a set of Unique-SAT problems (determining whether a formula has a unique solution) and comparing those Unique-SAT problems with the constructed SAT formula with just one solution enables you to determine the satisfiability of the SAT formula under consideration.

— Opt
джерело

To be precise, the first sentence should mention “under randomized reducibility” (although you mention it in the second sentence).

— Tsuyoshi Ito