Чи є закони збереження в теорії складності?

Почну з деяких прикладів. Чому так тривіально показувати, що CVP знаходиться в P, але так складно показати LP, це P; в той час як обидва є проблемами P-завершеними.

Або візьміть первинність. Простіше показати композити в NP, ніж праймета в NP (для чого потрібен Пратт) і врешті-решт у P. Чому взагалі довелося проявляти цю асиметрію?

Я знаю, Гільберт, потреба у творчості, докази є в НП і т. Д. Але це не заважало мені відчувати легке відчуття, що до цього є більше, ніж очі.

Чи існує поняття, яке можна оцінити «робота» і чи існує «закон збереження» в теорії складності? Це показує, наприклад, що хоча CVP та LP є P-повною, вони приховують свої складності у "різних місцях" - одна у зменшенні (Чи CVP простий, тому що вся робота робиться зі скорочення?) Та інше у виразності мови.

Хтось ще легкий і з деякими уявленнями? Або ми знизаємо плечима і кажемо / приймаємо, що це природа обчислень?

Це моє перше запитання до форуму: пальці схрещені.

Редагувати: CVP - це значення значення ланцюга, а LP - лінійне програмування. Дякую Садеку, що вказав на плутанину.

Це питання, яке не раз наштовхувалося на мою думку.

Я думаю, що одне місце слід шукати - теорія інформації. Ось моя міркування. Враховуючи проблему, можливо, ми можемо надати якесь значення ентропії інформації, поданій як вхід, та інформації, отриманій від алгоритму. Якби ми могли це зробити, то був би якийсь мінімальний обсяг інформації, необхідний алгоритму для вирішення цієї проблеми.

Є одне споріднене, що я хотів з’ясувати. У деяких проблемах, повних NP, ви можете знайти обмежену версію P; з гамільтоновим шляхом, якщо ви вказали, що графік є DAG, то існує p-часовий алгоритм для його вирішення. З іншими проблемами, такими як TSP, часто існують алгоритми p-time, які наближають оптимальну. Мені здається, для обмежених алгоритмів p-часу має існувати деяка пропорційна залежність між припущеною інформацією додавання та скороченням складності часу виконання. У випадку з TSP ми не припускаємо додаткової інформації, ми розслаблюємо точність, яка, я думаю, матиме аналогічний вплив на будь-який алгоритмічний приріст інформації.

Примітка щодо законів про охорону

На початку 1900-х років мало відомий німецько-американський математик на ім'я Емілі Нотер. Крім усього іншого, Ейнштейн та Гільберт її описали як найбільш імпортних жінок в історії математики. У 1915 р. Вона опублікувала те, що сьогодні відомо як Перша теорема Нітера . Теорема стосувалася фізичних законів збереження і говорила, що всі закони збереження мають відповідну диференціальну симетрію у фізичній системі. Збереження імпульсу кута відбувається від обертальної симетрії у просторі, Збереження лінійного імпульсу - це переклад у просторі, Збереження енергії - це переклад у часі. Враховуючи, що для того, щоб існував якийсь закон збереження складності у формальному розумінні, у функції Лангграгія повинна була бути відповідна диференціальна симетрія.

Я думаю, що причина криється в логічній системі, яку ми використовуємо. Кожна формальна система має набір аксіом і набір правил умовиводу .

Доказом у формальній системі є лише послідовність формул, така що кожна формула в послідовності або є аксіомою, або отримується з попередніх формул у послідовності, застосовуючи правило умовиводу. Теорема формальної системи - лише остання формула в доказі.

Тривалість доведення теореми, якщо припустити, що вона є рішучою в логічній системі, повністю залежить від наборів аксіом і правил умовиводу .

Наприклад, розглянемо логіку пропозицій, для якої існує декілька характеристик: Фреге (1879), Нікод (1917) та Мендельсон (1979). (Докладнішу інформацію див. У цьому короткому опитуванні .)

Остання система (Мендельсон) має три аксіоми та одне правило умовиводу (modus ponens). Враховуючи цю коротку характеристику, важко довести навіть найтривіальніші теореми, скажімо . Тут, важко , я маю на увазі, що мінімальна довжина доказу є високою.$\varphi \to \varphi$

Ця проблема називається доказовою складністю . Щоб цитувати Beame & Pitassi :

Одне з найосновніших питань логіки полягає в наступному: Враховуючи загально правдиве твердження (тавтологію), яка довжина найкоротшого доказу твердження в якійсь стандартній системі аксіоматичного доказування? Пропозиційна логічна версія цього питання є особливо важливою в інформатиці як для доведення теорем, так і для теорії складності. Важливими алгоритмічними питаннями є: чи є ефективний алгоритм, який підтверджує тавтологію? Чи є ефективний алгоритм для отримання найкоротшого доказу будь-якої тавтології? Такі питання доведення теорем і складності надихали семінарний документ Кука про повноту НП, зокрема під назвою «Складність процедур доведення теорем», і Гедель розмірковував ще раніше у своєму відомому листі фон Неймана.

Я думав над цим самим питанням днями, коли перетворював кілька лекцій Фейнмана з фізики, і прийшов до уроку 4 із збереження енергії. У лекції Фейнман використовує приклад простої машини, яка (через деяку систему важелів або шківів чи що завгодно) зменшує вагу однієї одиниці на деяку відстань x, і використовує її для підняття другої ваги на 3 одиниці. На яку висоту можна підняти вагу? Фейнман робить зауваження, що якщо машина оборотна, то нам не потрібно нічого знати про механізм машини - ми можемо ставитися до цього як до чорного ящика - і це завжди підніме вагу на максимально можливу відстань ( x / 3 у цьому випадку).

Чи має цей аналог обчислення? Ідея оборотного обчислення приводить до уваги роботи Ландауера та Беннета, але я не впевнений, що це сенс терміна, до якого нас цікавлять. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо у нас є алгоритм для якоїсь оптимальної проблеми, то не робиться жодна витрачана "робота", яка проводиться під час бітування; в той час як жорстокий підхід до тієї ж проблеми буде викидати цикли процесора вліво і вправо. Однак, я думаю, можна було б побудувати фізично оборотну схему для будь-якого алгоритму.

Я думаю, що перший крок у підході до закону про збереження обчислювальної складності - це з'ясувати, що саме потрібно зберегти. Простір і час - це важливі показники, але з існування простору / часу компроміси видно, що жоден сам по собі не буде адекватним як міру того, наскільки "робота" проводиться алгоритмом. Існують і інші показники, такі як розвороти головки TM або перетинання стрічкових комірок, які були використані. Жодне із цього насправді не здається близьким до нашої інтуїції щодо кількості «роботи», необхідної для проведення обчислень.

Поворотна сторона проблеми полягає в з'ясуванні того, в що перетворюється ця робота. Коли ви отримаєте вихід з програми, що саме ви отримали?

Деякі зауваження, що свідчать про існування закону про охорону:

Якщо ми розглянемо поліноміальний час (або лог-простір) обчислюваних скорочення як перетворення між обчислювальними завданнями, то такі визначення відомих класів складнощів припускають існування деякого законсервованого майна під «ефективними» перетвореннями. Якщо припустити то, здається, "твердість" є збереженою властивістю.$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

EDIT : точніше визначається як дозволяє припустити, що твердість задач у інваріантна при роботі доповнення, поки невідомо, що комплементація зберігає твердість задач (якщо ).P = { L | L < p H o r n S A T , ˉ L < p H o r n S A T } P N P P = N $P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

Дао пропонує існування закону збереження труднощів у математиці: "щоб довести будь-який справді нетривіальний результат, десь потрібно зробити важку роботу".

Він стверджує, що складність деяких математичних доказів говорить про нижню межу зусиль, необхідних для доведення теореми.