Проблеми з великими розривами у відкритій складності

Це питання стосується проблем, для яких існує великий розрив відкритої складності між відомими нижньою та верхньою межею, але не через відкриті проблеми самих класів складності.

Якщо бути більш точним, скажімо, що проблема має розривні класи (при A ⊆ B , не визначені однозначно), якщо A - максимальний клас, для якого ми можемо довести, що він A -hard, а B - мінімально відома верхня межа , тобто у нас є алгоритм B розв’язування задачі. Це означає, що якщо ми нарешті з’ясуємо, що проблема є С -комплектною A ⊆ C ⊆ B , вона взагалі не вплине на теорію складності, на відміну від пошуку алгоритму P для N P -повної задачі.$A,B$$A\subseteq B$$A$$A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

Мене не цікавлять проблеми з і B = N P , оскільки це вже є об'єктом цього питання .$A\subseteq P$$B=NP$

Я шукаю приклади проблем із розривними класами, які є максимально можливими. Для обмеження обсягу та уточнення питання мене особливо цікавлять проблеми з і B ⊇ E X P T I M E , тобто як членство в P, так і E X P T I M E - незавершеність узгоджується з поточними знаннями , не змушуючи відомих класів (скажімо, класи з цього списку ).$A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

Вузол Еквівалентність завдання .

З огляду на два вузли, намальовані в площині, чи топологічно вони однакові? Ця проблема, як відомо, вирішується, і, здається, немає ніяких перешкод для обчислювальної складності для її існування в П. Найкращою верхньою межею, відомою в даний час за її складністю, здається, є вежа заввишки с c n , де c = 10 10 6 , і n - кількість перетинів у вузлових діаграмах. Це походить від зв’язуваного Трусом і Лакенбі за кількістю ходів Рейдемістера, необхідних для виведення одного вузла на еквівалентний. Дивіться новітній документ Лакенбі$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ для деяких останніх пов’язаних результатів та для явної форми пов'язаного я наводимо вище (стор. 16).

Ось версія задачі про мінімальний розмір ланцюга (MCSP): враховуючи бітну таблицю істинності булевої функції, чи має схема розміром не більше 2 n / 2 ?$2^n$$2^{n/2}$

Відомо, що немає в . Міститься в N P . В основному вважається N P- твердим, але це відкрито. Я вважаю, що навіть не відомо, що це A C 0 [ 2 ] -твердий. Дійсно, нещодавня робота з Коді Мюррей (з'являється в CCC'15) показує, що немає рівномірного скорочення NC0 з PARITY до MCSP.$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

Складність обчислення біта (вказаного у двійковій формі) ірраціонального алгебраїчного числа (наприклад, ) має найбільш відому верхню межу P P P P P P P через зменшення до задачі B i t S L P, яка, як відомо, має цю верхню межу[ABD14]. З іншого боку, ми навіть не знаємо, чи ця проблема складніша, ніж обчислення парностіnбіт - адже ми знаємо, що ця проблема може бути вA C 0 . Однак зауважте, що ми знаємо, що жоден кінцевий автомат не може обчислити біти ірраціонального алгебраїчного числа[AB07]$\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

Ще одна природна топологічна проблема, схожа за духом на відповідь Петра Шорса, - це вбудованість двовимірних абстрактних спрощених комплексів у $\mathbb{R}^3$ . Загалом, природно запитати, коли ми можемо ефективно / ефективно вирішити, що абстрактний -вимірний симпліциальний комплекс$k$ може бути вбудований в . Для k = 1 і d = 2 це проблема планарності графіка і має алгоритм лінійного часу. Для k = 2 і d = 2 існує також алгоритм лінійного часу . The$\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$ , d = 3 випадок був відкритий до минулого року, коли йогопоказали, що його вирішують Матусек, Седжвік, Тансер і Вагнер. Вони кажуть, що їх алгоритм маєпримітивний рекурсивнийчас, алебільший, ніж вежа експонентів. З іншого боку, вони припускають, що можна поставити проблему в НП, але вийти за межі цього було б складно. Однак, схоже, не існує жодних вагомих доказів того, що багаточастовий алгоритм неможливий.$k=2$$d=3$

Останній документ має багато посилань для подальшого читання.

Автомати мультиобчислювача (MCA) - це кінцеві автомати, оснащені лічильниками, які можна збільшувати та зменшувати протягом одного кроку, але приймати лише числа цілих чисел> = 0. На відміну від машин Мінського (він же лічильника автомати), MCA заборонено перевіряти, чи лічильник дорівнює нулю.

Однією з алгоритмічних проблем з величезним розривом, пов'язаним з MSC, є проблема доступності. Напр., Чи може автомат досягти, з конфігурації з початковим станом і всіма лічильниками нуля, конфігурацією зі станом прийняття, і всі лічильники знову нульовими.

Проблема складна для EXPTIME (як показав Річард Ліптон у 1976 р.), Вирішуваного (Ернст Мейр, 1981 р.) Та розв’язуваного у Fω3 (спасибі, Sylvain, що вказав на це). Величезний розрив.

(Квант Мерлін-Артур з двома unentangled випробувачів): звичайно Q М -важко, але тільки відомо, що в N E X P . $\mathsf{QMA}(2)$$\mathsf{QMA}$$\mathsf{NEXP}$

Обчислювальна проблема, пов’язана з нормалізаційною лемою Нотера для явних різновидів ("явна" в розумінні цієї статті [ вільнодоступна повна версія ]). Найвідомішою верхньою межею є (зауважте, SPACE, а не TIME!), Але передбачається, що вона знаходиться в P (і справді, її існування в P по суті еквівалентно дерандомізації PIT).$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Проблема Сколема (зважаючи на лінійний повтор із цілими базовими випадками та цілими коефіцієнтами, чи досягає вона коли-небудь значення 0), як відомо, є NP-жорстким і невідомо, що може бути вирішеним. Наскільки я знаю, що між ними було б узгоджується з нашими поточними знаннями без краху стандартних класів складності.