Сфера бар'єру природних доказів

Бар'єр природних доказів Розборова та Рудича стверджує, що за достовірних криптографічних припущень не можна сподіватися відокремити NP від ​​P / poly, знайшовши комбінаторні властивості функцій, які є конструктивними, великими та корисними. Є кілька відомих результатів, яким вдалося уникнути бар'єру. Існує також декілька робіт, в яких обговорюються можливі лазівки на три умови, наприклад, в результаті Чоу, що показує, що бар'єр чутливий до слабких порушень чисельності, і нещодавній документ Чапмана і Вільямсапідказуючи, як потенційно уникнути бар’єру, послабивши умови корисності. Моє запитання - чи є якісь приклади чи навіть можливість уникнути бар'єру природних доказів не через порушення конструктивності, масштабності чи корисності, а повністю випадаючи за межі його сфери застосування. Тобто, мені зовсім не очевидно, чому кожен потенційний метод доказування повинен базуватися на знаходженні комбінаторних "властивостей", а потім на розподілі всіх функцій на ті, що роблять і не відповідають властивості. Чому ця рамка дії повинна застосовуватися до всіх можливих доказів, а якщо їх немає, як би виглядали інші типи доказів?

Нехай є функцією, а C - класом алгоритмів, що працюють на кінцевих фрагментах f . Кожен контур нижньої межі взагалі є доказом того, що е ∉ З , для деяких х і деяких З . Розглянемо "комбінаторну властивість булевих функцій" P f , таке, що$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$$C$$f$$f \notin C$$f$$C$${\cal P}_f$

і P f (g)=0для всіхg≠f.${\cal P}_f(f) = 1$${\cal P}_f(g) = 0$$g \neq f$

Доказ того, що є доказом того, що Р е є корисним проти C , в термінології розбір і Рудич. Тобто «корисність» абсолютно неминуча - немає ніякого способу «вийти за межі її сфери». Якщо ви взагалі довели нижню межу ланцюга, ви надали корисну властивість.$f \notin C$${\cal P}_f$$C$

Зауважимо, що якщо , то P f також є конструктивним у термінології Разборова та Рудича. Отже, для функцій f, які можна обчислити в межах E, але не в (скажімо) P / p o l y , конструктивність також застосовуватиметься до принаймні одного властивості булевих функцій, корисного проти P / p o l y .$f \in TIME[2^{O(n)}]$${\cal P}_f$$f$$E$$P/poly$$P/poly$

Отже, Розборов і Рудич є більш фундаментальними, ніж ви могли спочатку вважати.

Ви маєте рацію: теорема про природні докази стосується природних властивостей (і лише неофіційно про доказів). Сам Разборов написав два документи приблизно в один і той же час, вивчаючи клас формальних доказів і складність нижніх меж:

• Обмежена арифметика та нижні межі булевої складності , 1995 рік
• Недостатність нижньої межі за розміром ланцюга в деяких фрагментах обмеженої арифметики , 1995 р.

Перший вивчає формалізацію існуючих доказів нижньої межі у слабких арифметичних фрагментах (верхні межі твердості доведення теорії складності нижні межі).

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$ZF$$PA$$PV$$PV$$\mathsf{P}$

$PV$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

$PV$

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$