Часова складність підрахунку трикутників у плоских графах

Підрахунок трикутників у загальних графах можна робити тривіально за час, і я думаю, що робити набагато швидше важко (посилання вітаються). А як щодо плоских графіків? Наступна пряма процедура показує, що це можна зробити за . Моє запитання двояке:$O(n^3)$$O(n\log{n})$

• Що таке посилання на цю процедуру?
• Чи можна зробити лінійним час?

З алгоритмічного підтвердження теореми планарного сепаратора Ліптона-Тарджана ми можемо, за часом лінійного розміру графа, знайти поділ вершин графа на три множини таким чином, що немає ребер з однією кінцевою точкою в а інший у , має розмір, обмежений і обидва мають розміри, які верхньо обмежені числа вершин. Зауважте, що будь-який трикутник на графіку повністю лежить всередині або повністю всередині або використовує принаймні одну вершину з двома іншими вершинами з або обидві з$A,B,S$$A$$B$$S$$O(\sqrt{n})$$A,B$$\frac{2}{3}$$A$$B$$S$$A \cup S$$B \cup S$ . Таким чином, достатньо порахувати кількість трикутників у графі на та сусідів у (і аналогічно для ). Зауважте, що та його -суперечки індукують -більший плоский графік (згаданий графік є підграфом плоского графіка діаметром ). Таким чином, підрахунок кількості трикутників у такому графіку можна здійснити безпосередньо за допомогою динамічного програмування або застосуванням теореми Courcelle (я точно знаю, що така версія підрахунку існує в світі журналів Ельберфельда та ін., І я гадаю, що вона також існує у лінійному часовому світі), оскільки формування непрямого трикутника є an$S$$S$$A$$B$$S$$A$$k$$4$$\mathsf{MSO}_1$ і оскільки розкладання дерева з обмеженою шириною легко отримати з вбудованого -усього плоского графа.$k$

Таким чином ми звели проблему до пари задач, кожна з яких є постійною дробою меншою за рахунок лінійної процедури часу.

Зауважте, що процедуру можна розширити, щоб знайти кількість примірників будь-якого фіксованого підключеного графа всередині вхідного графіка за час .$O(n\log{n})$

Кількість виникнення будь-якого нерухомого підграфа H у планарному графіку G можна підрахувати за O (n) час, навіть якщо H відключено. Цей та декілька пов'язаних з цим результатів описані у статті « Підграф» Ізоморфізм у планарних графіках та пов'язані з ними проблеми Девіда Еппштейна з 1999 року; Дивись теорему 1. У роботі справді використовуються методи ширини.

Хоча відповідь Барта Янсена вирішує загальний випадок підрахунку підграфів, проблема підрахунку (або перерахування) всіх трикутників у площинному графіку (або взагалі будь-який графік обмеженої альтанки) була відома лінійним часом значно довше. Побачити

К. Пападімітріу та М. Яннакакіс, Проблема клики для плоских графіків, Інформ. Зб. Листи 13 (1981), стор 131–133.

і

Н. Чиба та Т. Нішизекі, Алгоритми лістингу підборідності та підграфів, SIAM J. Comput. 14 (1985), стор 210–223.