Складність гамільтонів, які мають законний закон

Нещодавно я думав про "імпорт" якогось питання, пов'язаного з фізикою, у квантовий CS:

Поняття феномена закону в гамільтонових системах зазвичай позначається місцевим гамільтоніаном на якійсь решітці, у ґрунтовому стані якої є властивість, в якій заплутування будь-якого замкнутого регіону пропорційно поверхні регіону, а не його обсяг (як би для загального стану). Знаменита думка полягає в тому, чи всі гамільтонці з постійною розбіжністю виявляють цю властивість закону. Для одновимірних систем Гастінгс відповів на це запитання позитивно (arXiv: 0705.2024).

Тим не менш, зв'язок між такими системами та теорією складності дуже невиразний: тоді як результат Гастінгса передбачає, що 1-D системи, що дотримуються законодавства, можуть бути класично модельовані, для загальних систем це невідомо. Отже, моє запитання полягає в тому, чи варто прагнення вирішити домовленість про закон? Або, по суті, можна придумати локальний гамільтоніан, повний QMA, який також дотримується законодавства. Невеликий погляд на відомих локальних гамільтоніанів, повних QMA, які, по суті, базуються на квантовій теоремі Кука-Левіна Китаєва, свідчить про те, що ці гамільтоняни не мають властивості закону області.

Можна було б розглянути наступний трохи нерозумний приклад 2d-системи, яка підкоряється закону області, який є повним QMA. Візьміть 2d-систему, один ряд якої дорівнює одному з відомих 1d-гамільтоніян QMA (див. Ахаронов, Готтесман, Ірані, Кемпе), а всі інші рядки знаходяться у стані продукту. Потім це підпорядковується закону про площу (розглянемо малювання прямокутника, який включає заданий рядок, з k рядками та l стовпцями; переплутування обмежене постійним часом l і площа також принаймні дорівнює l).

Однак, на мою думку, це, звичайно, не означає, що доведення закону про територію в 2d було б безглуздим з точки зору складності. Швидше, я вважаю, що це означає, що нам потрібно враховувати не просто закон закону щодо ентропії заплутування, але й інші властивості заплутування. Однією з таких властивостей буде мати PEPS розмірності поліноміального зв'язку. Власне, доведення того, що в 2d існує закон про область, не означає, що розмір поліноміальних зв'язків має PEPS. Наслідок в 1d покладається на те, що ми можемо розрізати систему за різними зв’язками, усікати до полінома Шмідтського рангу по кожній зв'язці і обмежувати помилку. Ця процедура не працює в 2d. Отже, доведення існування PEPS для системи, що протікає в 2d, було б наступним кроком. Я відчуваю, що доведення закону про область в 2d було б гарним першим кроком до цього.

Насправді, у фізиці конденсованої речовини добре вивчено, що існує гамільтоніани, що не мають великої кількості 2d, які підкоряються місцевому закону. Якщо в 1d, системи, описані теорією конформних полів, мають логарифмічну поведінку ентропії заплутування, у 2d багато критичних систем показують закон площі, і тоді журнали виявляються в поведінці субледінгу, тому ентропія дорівнює L + const * log (L) + ... Тобто, цікаві, універсальні терміни в ентропії - це не провідні терміни, а субелінг в таких 2d теоріях.

Дякуємо за детальну та проникливу відповідь та чітке розмежування між рівнем закону та виміром поліноміальних зв’язків.