Чи відомі субекспоненціальні алгоритми для PLANAR SAT?

Деякі важкопроблемні задачі NP, які є експоненціальними на загальних графах, є субекспоненціальними на плоских графах, оскільки ширина ширини не більше і вони експоненціальні в широкій ширині. $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

В основному мене цікавить, чи існують субекспоненціальні алгоритми для PLANAR SAT, який є NP-повним.

Нехай - формула CNF для змінних а -ве застереження . $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

Графік захворюваності на стор. 5 з знаходиться на вершинах і ребер тоді і тільки тоді або . $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

$\phi$ знаходиться у ПЛАНАРНОМУ САТ, якщо графік захворюваності є планарним.

Чи існують субекспоненціальні алгоритми для ПЛАНАРНОГО САТ з точки зору ? $\phi$

Я не виключаю можливості зменшення SAT на PLANAR SAT, щоб зробити це можливим, хоча SAT все ще є експоненціальним і є субекспоненціальним через збільшення розміру. $\phi$

graph-theory sat reductions

— жоро
джерело

У визначенні PLANAR SAT є додаткова умова, змінні повинні бути пов'язані з циклом через них. Те, що ви описали, відоме як PLANAR * SAT.

— domotorp

@domotorp Я думаю, що я цитував правильно, і в роботі стверджується, що графік двосторонній. Можливо, в інших паперах те саме ім’я використовується для чогось іншого.

— Жоро

Ну, ви можете застосувати теорему про площинний роздільник разом з динамічним програмуванням і отримати час роботи

, де

- кількість вершин у графі. Я припускаю, що ти хочеш чогось кращого?

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— Саріель Хар-Пелед

@ SarielHar-Peled Ваша відповідь, не потрібно нічого кращого (хоча краще вітається). Помилки у мене за різними формулами можуть мати однаковий графік - заперечувати буквальне.

— Жоро

Стандартне зниження від SAT до планарного SAT показує, що за гіпотезою експоненціального часу,

неможливо, тому алгоритм із коментаря Саріеля є оптимальним до констант в експоненті. (це те, що domotorp називає PLANAR * SAT, але я впевнений, що нижня межа може бути показана і для PLANAT SAT)

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$

— daniello

Ну, ви можете застосувати теорему про площинний роздільник разом з динамічним програмуванням і отримати час роботи , де- кількість вершин у графі. Ідея полягає в тому, щоб ви спробували всі можливі призначення вершин змінної на розділювачі та всіх змінних, згаданих у пунктах розділювача (якщо кожен пункт має число змінних constnat). $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

Якщо вузол пункту великий, то ви повинні бути трохи розумнішими - ви повинні здогадатися, присвоювати його підпроблемі з лівого або правого боку. Деталі для таких речей, як правило, безладні і не негайні, тому я не збираюсь надавати більше деталей. Я думаю, що оригінальні статті Ліптона і Тарджана вирішили подібні проблеми, використовуючи подібні ідеї, якщо моя пам'ять слугує мені правильно.

— Саріель Хар-Пелед
джерело

Більш загальновідомо, що якщо графік захворюваності формули SAT має ширину ширини не більше

то можна перевірити відповідність за

час. Плоскі графіки з

вершинами гарантовано мають ширину

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

завдяки теоремі про плоский роздільник. Більш загально графіки, які виключають будь-який фіксований графік

мають мінор, мають ширину

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

де константа залежить від величини

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

— Чандра Чекурі

Дійсно, якщо формула має

змінних і

застережень, тоді широчина ширини становить не більше

n

$n$

m

$m$

(на відміну від більш сирого

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

пов'язане).

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

верхня межа випливає з того, що змінні є вершинною кришкою графіка падіння, а плоскі графіки з вершинною кришкою розміром

мають ширину

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— daniello

Це також вправа 41 " Точних алгоритмів" Woeginger 2003 р. Для проблем NP-Hard: опитування . dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— András Salamon