Раміфікація теорії бездослідного типу

Більшість типів теорій, які мені відомі, є предикативними, під якими я маю на увазі це

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

не надруковано у більшості доказів теореми, оскільки цей тип пі належить до тієї ж Всесвіту, Propі це не так Prop : Prop. Це робить їх предикативними і забороняє непередбачувані визначення, як зазначено вище. Однак дуже багато "мов на дошці", таких як System F або CoC, насправді непередбачувані. Насправді ця непередбачуваність є життєво важливою для визначення більшості конструкцій, не включених первісно в мову.

Моє запитання: чому можна було б відмовитись від непередбачуваності, враховуючи його силу у визначенні логічних конструкцій? Я чув, як пара людей зауважує, що непередбачуваність викликає "обчислення" чи "індукцію", але у мене виникають проблеми з пошуком конкретного пояснення.

lo.logic type-theory

— Даніель Гратцер
джерело

Чи є теоретики типу предикативними чи їх теоріями?

— Андрій Бауер

Я припускаю, що Кок не є для вас "найбільшою теоремою", тому що він приймає наведене вище визначення.

— Андрій Бауер

@AndrejBauer Чому б не обидва? :) Я думаю, що у coq є непередбачуваний всесвіт, а також прогностичний. Я думаю, моє питання таке. "Чому також не встановлено непередбачуваність?" в контексті кок

— Даніель Гратцер

Чому Тип не є передбачуваним? > Тип перевірки. Тип: Тип. Ну, дарма :)

— коді

Не потрібно турбувати розробників! Наслідкована множина досить противна, і, зокрема, суперечить деяким досить природним принципам вибору та так званим "інформативним виключеним серединою" forall P : Type, {P} + {~P}, оскільки ця + непередбачувана множина передбачає доказову невідповідність (і неnat є доказом ірелевантною). Дивіться, наприклад, coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ClassicalUniqueChoice.html та coq.inria.fr/library/Coq.Logic.Berardi.html

— cody

Відповіді:

Я буду сформулювати свої коментарі у відповідь. Витоки теорії предикативного типу майже такі ж старі, як і сама теорія типів, оскільки одним із мотивів Русселя було заборона «кругових» визначень, які були визначені частиною джерела невідповідностей та парадоксів XIX століття. Тьєррі Кокан дає просвітлений огляд тут . У цій теорії предикати над "рівнем" або типом, належать до типів "наступного" рівня, де існує нескінченна (лічильна) кількість рівнів.

Хоча предикативна ієрархія Русселя (мабуть) була достатньою для відхилення відомих парадоксів, виявилося, що її дуже важко використовувати як основоположну систему. Зокрема, визначити навіть щось таке просте, як реальну систему чисел, було надзвичайно важко, і тому Руссель постулював аксіому, аксіому скорочуваності, яка постулювала, що всі рівні були "зведені" до одного. Потрібно сказати, що це було не задовільним розвитком.

Однак, на відміну від "шкідливих" непередбачуваних тверджень (як-от необмежене розуміння), ця аксіома, здавалося, не вводила жодних невідповідностей. Наступні формулювання основоположних теорій ( теорії простого типу , теорія Цермело безлічі ) прийняли їх оптом, роблячи сім'ю предикатів (квантификации по , можливо , весь всесвіт множин), предикати на той же рівень.

Приблизно в 1971 році Мартін-Леф ввів теорію залежного типу, в якій Type : Typeдотримуються і цей принцип, і подальша аксіома . Ця система виявилася непослідовною з тонких причин: наївний парадокс Русселя не може бути відтворений (прямо), але розумне кодування все-таки дозволяє знайти протиріччя. Це призвело до кризи віри, подібної до Русселя, в результаті чого теорія предикативного типу з всесвітами, яких ми знаємо і любимо.

Існує спосіб виправити теорію, щоб дозволити «невинну» непередбачуваність a la Zermelo теорії множин, в результаті чого з'явилися такі теорії, як «Конструкція обчислень», але шкода була зроблена, і «шведська школа» теорії типів, як правило, відкидає непередбачуваність.

Кілька пунктів:

Що це стосується інтуїтивної математики? Відповідь не багато. На рубежі XX століття математики прагнули пов'язувати використання кругових / непередбачуваних принципів з неконструктивними міркуваннями (інтуїція полягає в тому, що непередбачувані міркування, здається, припускають існуючий математичний всесвіт, як і використання виключеної середини). Однак існують ідеально інтуїтивістські непередбачувані теорії (як ІЗФ ). Люди, які цікавляться інтуїціонізмом, все ще чомусь цікавляться предикативізмом (я, звичайно, я в цьому винен).
Що можна зробити з предикативної математики? Як вказує Мартін у своїй відповіді, Герман Вейл (не плутати з Андре Вайлем) розпочав програму, яка намагалася дослідити виразну силу предикативних систем, взявши за вихід, що предикативні системи мають виразну силу між арифметикою Пеано та другим порядком Арифметика , яка, як вважається, вважається непередбачуваною у більшості стандартів (і порівнянна із системою F на стороні теорії типів). Пізніше програму охрестили "зворотною математикою", оскільки вона намагалася класифікувати силу відомих математичних теорем з точки зору аксіом, необхідних для їх доказування (зворотний звичайний підхід). Theсторінка wikipedia дає хороший огляд; програма була досить успішною, оскільки більшість математики XIX століття легко можна розмістити в дуже слабких системах. Досі залишається відкритим питання, чи може ця програма масштабуватися до останніх результатів, скажімо, в теорії вищої категорії (підозра є, що відповідь "так, з великими зусиллями").

— коді
джерело

Ваша приємна публікація містить дуже цікаве зауваження: "майже всі згодні бути непередбачуваними за більшістю стандартів ". Це вказує на щось тонке, а саме на те, що незрозуміло, де саме слід провести межу між предикативним та непередбачуваним.

— Мартін Бергер

Це правда, але те, що я дещо не зміг зробити, - це те, що рядок, якщо така є , повинна бути проведена перед .

{P A}_{2}

$\mathrm{PA}_2$

— коді

Один вимір - це умовивід типу. Наприклад, умовивід системи F не може бути вирішеним, проте деякі його предикативні фрагменти мають висновок (частковий) тип.

Інший вимір - послідовність як логіка. Визначні мислителі історично відчували дещо затруднення щодо наявності непередбачуваних основ математики. Зрештою, це форма кругових міркувань. Я думаю, що Х. Вейл, можливо, був першим або одним із перших, хто намагався реконструювати якомога більше математики прогнозованим способом ... просто щоб бути на безпеці. Ми дізналися, що циркулярність непередбачуваності не є проблематичною у класичній математиці, в тому сенсі, що жодних суперечностей ніколи не було виведено із "приручених" непередбачуваних визначень. З часом ми навчилися довіряти їм. Зауважимо, що це (відсутність парадокса) є емпіричнимспостереження! Однак значна частина розробки теорії доказів з її дивними порядковими побудовами має як кінцеву мету бажання створити всю математику "знизу", тобто без непередбачуваних визначень. Ця програма не завершена. В останні роки інтерес до предикативних основ математики змістився від побоювань щодо парадоксальних даних до обчислювального змісту доказів, що цікаво з різних причин. Виявляється, що непередбачувані визначення ускладнюють видобуток обчислювального змісту. Ще один кут турботи про послідовність походить від традиції Кері-Говарда. Первісна теорія типу Мартіна-Льофа була непередбачуваною ... і недоброзичлива. Після цього шоку він запропонував лише предикативні системи, але в поєднанні з індуктивними типами даних, щоб повернути велику силу непередбачуваності.

— Мартін Бергер
джерело

Чесно кажучи, Рассел був одним із перших, хто спробував . Він наче визнав поразку (з аксіомою скорочуваності), хоча.

— коді

@cody Я не надто знайомий з історією цих спроб. Наскільки успішними були Вайль (та С. Феферман) у своїх спробах? MLTT / HOTT звичайно спрацюють, я б сказав.

— Мартін Бергер

В основному, Вейл був надзвичайно успішним, тобто більшість корпусу аналізу можна формалізувати без звернення до математики 2-го порядку (непередбачуваної). Основа роботи стала частиною зворотної математики, яка точно кількісно визначає, наскільки "непередбачуваність" вам потрібна.

— коді

Неправда, що теорія доказу може "зі своїми дивними порядковими конструкціями" наростити всю математику без непередбачуваних визначень. Проблема полягає в тому, що теорія доказів проводиться не у вакуумі, а у формальній системі, яка сама по собі має деяку доказово-теоретичну порядкову документацію, яку вона не може довести обґрунтованою. Тож ця гонитва точно не може досягти "дна". Деякі логіки вважають, що Γ [0] є першою непередбачуваною порядковою ознакою, і якщо так, то ви застрягли і не можете прогнозовано виправдати ATR0. Якщо ні, то потрібно обґрунтувати, що Γ [0] є предикативним. Як би ви?

— користувач21820

@ user21820 Я не сказав, що всю математику можна створити без непередбачуваних визначень, це питання відкрите.

— Мартін Бергер

Теорії типів схиляються до предикативності в основному соціально-технічні причини.

По-перше, неформальну концепцію непередбачуваності можна формалізувати (принаймні) двома різними способами. По-перше, ми говоримо, що теорія типів, як Система F, непередбачувана, оскільки кількісна оцінка типу може охоплювати всі типи (включаючи тип, до якого належить кількісний показник). Таким чином, ми можемо визначити оператори загальної ідентичності та композиції:

\begin{array}{lclll} i d & : & \forall a . a \to a & = & Λ a . λ x . x \\ c o m p o s e & : & \forall a, b, c . (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & Λ a, b, c . λ f, g . λ x . g (f x) \end{array}

$\begin{array}{lclll} \mathit{id} & : & \forall a.\; a \to a & = & \Lambda a.\;\lambda x.\;x\\ \mathit{compose} & : & \forall a, b, c.\; (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & \Lambda a,b,c.\lambda f, g. \lambda x. g(f\;x) \end{array}$

Однак зауважте, що в стандартній теорії множин (наприклад, ZFC) ці операції не визначаються як об'єкти . У теорії множин немає такого поняття, як "функція ідентичності", оскільки функція - це відношення між набором домену та набором кодоменів, і якщо одна функція може бути функцією ідентичності, то ви можете використовувати її для побудови набору усіх наборів. (Це в основному, як Джон Рейнольдс показав, що поліморфізм у стилі System-F не має теоретико-теоретичних моделей.)

$X$ $S$ $P$ $X$ $P$ $X$

Тож непередбачуваність у стилі F несумісна з наївним поглядом на типи як набори. Якщо ви використовуєте теорію типів як помічника доказу, приємно мати можливість легко переносити стандартну математику на ваш інструмент, і тому більшість людей, що впроваджують такі системи, просто усувають непередбачуваність. Таким чином, все має як теоретико-множинне чи теоретичне читання, і ви можете інтерпретувати типи будь-яким зручним для вас способом.

— Ніл Кришнасвамі
джерело

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$