Тестування власності для незалежних наборів

Припустимо, нам задано графік та параметри . Чи існує діапазони значень для (або це здійснимо для всіх ) , для яких можна перевірити , є чи є -far з яких має незалежний набір розміру по крайней мере під час ?$G$$k,\epsilon$$k$$k$$G$$\epsilon$$k$$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

Якщо ми будемо використовувати звичайне поняття -far (тобто максимум ребер потрібно змінити, щоб отримати такий набір), тоді проблема є тривіальною для . Тому$\epsilon$$\epsilon n^2$$k = O(n\sqrt{\epsilon})$

• Здається, що якщо $k$Більше, деякі ідеї вибірки повинні працювати для вирішення проблеми. Це правда ?
• Чи є інші поняття про $\epsilon$-далеко (тобто, може, $\epsilon |E|$ краї замість), під якими немає нетривіальних результатів?

Я в основному шукаю посилання на цей момент.

Ця проблема справді була вивчена. Голдріх, Голдвассер і Рон вивчали це у своїй напівальній роботі, яка розпочала тестування властивостей графів, а потім Фейге, Лангберг і Шехтман також отримали результати про це у своїй роботі FOCS '02 "Графіки з крихітними векторними хроматичними числами та величезними хроматичними числами" .

Зокрема, [FLS '02] показують, що можна розрізняти графіки з незалежним набором розмірів $\rho n$ з графіків $\epsilon$-віддале від того, щоб бути таким (маючи на увазі принаймні $\epsilon n^2$ краю потрібно видалити, щоб створити такий незалежний набір), вибравши випадковий підграф, індукований $s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$ випадкові вершини на графіку та перевірка того, чи має випадковий підграф незалежний набір розмірів $\rho s$чи ні. ([GGR '98] показав слабший рубіж)$s$ з $\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$.) [FLS '02] також показують нижню межу на $s$ з $\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$.

Ще одне природне визначення о $\epsilon$-замикається на незалежний набір змінюється $\epsilon k^2$краї. На жаль, з цим визначенням властивості тестування, здається, не є вирішуваним багаточленним часом. Причина в тому, що ніхто не знає, як знайти посаджений клик (і аналогічно незалежний набір) з$o(\sqrt{n})$ вершин у випадковому графіку $n$ вершини швидше, ніж $n^{O(\log n)}$час. Можна показати, що підграф, який трохи щільніше середнього, може бути використаний для пошуку посадженої кліки в поліноміальний час. Це свідчить про те, що існує алгоритм поліноміального часу для цього варіанту вашої проблеми$k$ між $\log n$ і $\sqrt{n}$.

Довідка: Фейдж і Кройтгамер. Пошук і засвідчення великої прихованої кліки в напіввипадковому графіку, 1999 рік.