Складність відновлення матриці суміжності з її квадрата

Мене цікавить наступна проблема: З огляду на матрицю , чи існує непрямий графік на вершин, чия матриця суміжності в квадраті - це ця матриця? $n\times n$ $n$

Чи відома обчислювальна складність цієї проблеми?

Зауваження:

Звичайно, це також можна виразити як проблему пошуку, де вам надається матриця для матриці суміжності непрямої графіки, і проблема полягає у пошуку будь-якої матриці суміжності (непрямої графіки) такої, що . $A^2$ $A$ $B$ $B^2 = A^2$
Мотвані та Судан ( Обчислити корені графів важко , 1994 р.) Та Куц ( Складність обчислення кореневих булевих матричних корінців , 2004 р.) Показують подібні, але чіткі проблеми від цього є важкими NP - вони розглядають лише квадрат матриць суміжності під булевою матрицею множення.

cc.complexity-theory graph-theory

— Бен Риба
джерело

Проблема рівнозначна вирішенню існування

векторів із заданими попарно внутрішніми продуктами.

n

$n$

— Мохаммед Аль-Туркстані

Зовсім недавно з’явився документ, який вирішив це питання для стохастичних матриць, а не матриць суміжності ( arxiv.org/abs/1411.7380 ). Властивість бути квадратом у цьому контексті відома як подільність і показана NP-повною у роботі, яку я згадав.

— Маріс Озолс

@ MohammadAl-Turkistany, наскільки вони рівноцінні? Вирішення проблеми ОП вимагає додаткової структури, ніж загальні вектори (ціле число, певні показники повинні бути нульовими тощо).

— Джеремі Кун

Це повинно бути пов'язано з перевіркою того, чи є послідовність ступенів графічною. Зауважте, що в

діагональ являє собою послідовність градусів і

кількість загальних сусідів вершин

. Таким чином, це обмеження проблеми послідовності графічного ступеня. Не знаю, як це вирішити.

A^{2}

$A^2$

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$

i, j

$i,j$

— СаміД,

Відповіді:

Відомо, що квадрати двочастотних графіків можна розпізнати в поліноміальний час (Див. Це ). Взагалі, існує характеристика складності цієї проблеми на основі обхвату основного графіка.

Нещодавно була оптимізація варіант вивчений, що дає FPT алгоритми для завдання , коли ви хочете перевірити , чи має граф квадратний корінь з більш (відповідно , по крайней мере) крайками для деякого заданого ціле . $s$ $s$

— Ніхіл
джерело

Дякуємо за відповідь, але результати, які ви згадуєте, не мають відношення до цієї проблеми - вони припускають, як і в статті Мотвані та Судану, що дана матриця є матрицею суміжності, а мета - знайти інший графік, чию матрицю суміжності розміщують у квадраті Булеве множення матриці є заданою матрицею. Тоді як у цій проблемі це не булеве, а ціле матричне множення. Іншими словами, ця проблема полягає не в квадратному корені графіка, оскільки вони використовують термін.

— Бен Фіш

@BenFish На жаль Неправильно зрозуміли ваше запитання. Для матриць Integer я не бачу кращого способу, ніж просто наближення квадратного кореня матриці, хоча я припускаю, що вам цікаво обчислити це як квадратний корінь зваженого графа (і я не маю уявлення, як це зробити)

— Нікхіл

@Nikhil квадратний корінь матриці не є унікальним, тому це не вирішує питання

— Лев Рейзін

@LevReyzin Ви маєте рацію. Взагалі, я думаю, що унікальність можна охарактеризувати з спектру матриці (можливо, вони не забезпечують необхідної та достатньої умови). Є кілька цікавих результатів, відомих для стохастичних матриць - Дивіться eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

Якщо основоположний графік є розрідженим, випадковим графіком, можна вирішити задачу "корінь квадратного графіка" в поліноміальний час; це справедливо і для зважених графіків. Прикладами статей, які використовують цю ідею, є пошук спільнот, що перекриваються в соціальних мережах, і надійні межі для вивчення деяких глибоких представлень . Будь-яке уявлення про подібні алгоритми для коренів графіка куба, четвертих коренів тощо?

— Пратік
джерело