Чи відома складність цієї проблеми висвітлення?

Нехай - графік. Вершина безліч називається критичним , якщо і ні одна вершина не суміжні точно одна вершина в . Проблема полягає в тому, щоб знайти безліч вершин мінімального розміру, що для кожного критичного безлічі . $G=(V,E)$ $X\subseteq V$ $X\neq\emptyset$ $V\setminus X$ $X$ $S\subseteq V$ $S\cap X\neq\emptyset$ $X$

Проблема має таку інтерпретацію розповсюдження чуток: Вершина поширює чутку на свого сусіда якщо і лише у тому випадку, якщо про всіх інших сусідів вже поінформовані. Тоді питання полягає у тому, скільки вершин я повинен сповістити спочатку, щоб переконатися, що в кінці всіх проінформовано. $i$ $j$ $i$

— Томас Каліновський
джерело

Це досить просте рішення, тому, можливо, проблема має більше умов, ніж зазначено; ігноруючи особливий випадок і якщо з'єднаний, кожна вершина зі ступенем має критичний набір пов'язаний з нею, тому в можуть бути тільки сусіди виключно deg 1 вершин . Якщо така вершина існує, то є зіркою граф і його центр (як одноелементні) є єдиним мінімальним . Якщо не підключено, подивіться на кожен підключений компонент.

X = V

$X=V$

G

$G$

v

$v$

> 1

$>1$

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$

S

$S$

G

$G$

S

$S$

G

$G$

— Джо Бебель

Для зірки з листям кожен набір із двох листків є критичним, тому оптимальне рішення - взяти

листя.

K_{1, n}

$K_{1,n}$

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$

n - 1

$n-1$

— Томас Каліновський

О, я бачу свою помилкову інтерпретацію

— Джо Бебель

Дуже цікаве запитання, одна незначна каламбур: ви, мабуть, хочете вимагати, щоб ваші критичні набори не були порожніми (інакше немає

S

$S$ ).

— Клаус Драгер

@JoeBebel: Проблема рішення "Чи існує рішення, розмір розміром щонайбільше ?" знаходиться в НП. Ви можете перевірити, чи множина є рішенням за наступним алгоритмом. Хоча існує вершина , яке має рівно на сусіда поза , додати до . Якщо зрештою містить усі вершини, то ваш початковий набір був рішенням, інакше ви застрягнете, а доповнення остаточного набору є критичним набором, тому початковий не був рішенням.

S

$S$

K

$K$

S

$S$

v \in S

$v\in S$

w

$w$

S

$S$

w

$w$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Томас Калиновський

Проблема відома як проблема поширення . У своїй докторській дисертації Аазамі довів, що зважена версія є NP-повною навіть тоді, коли графік планарний, а вага вузла знаходиться в . Складність для не зваженої версії представляється відкритою проблемою. $\{0,1\}$

— Томас Каліновський
джерело