Про дерандомізацію тестування поліноміальної ідентичності

Під час тестування поліноміальної ідентичності ми шукаємо детермінований алгоритм для виведення рівності двох многочленів . Дерандомізація відомих ефективних рандомізованих алгоритмів та створення ефективного детермінованого алгоритму є важливою відкритою проблемою. Чи існує повна проблема ПДФО, щоб дерандомізація тестування ідентичності для цього класу многочленів вирішила цю відкриту проблему? Якщо ні, то чи є класи многочленів, де ця проблема вирішена, і класи, де вони відкриті?$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] Відомо багато, і це дуже активна область! [/tl;dr]

Важливо вказати подання вхідних многочленів, оскільки саме вони задаються у вигляді списків коефіцієнтів або ненульових одночленів, проблема тривіальна. Таким чином, зазвичай передбачається, що поліноми даються як арифметичні схеми (також прямі програми). І загальний випадок насправді зводиться до перевірки того, чи є даний многочлен нульовим многочленом.

Вивчені два основні параметри: випадок "біла скринька", в якому є арифметична схема і може перевірити її, і випадок "чорний ящик", в якому відомо деякі речі про схему (розмір, формальний ступінь, ...), але не може огляньте його, оцініть лише за деякими значеннями.

Ось деякі обмеження щодо схем, які були вивчені:

• Обмежена глибина: Глибина ланцюга - це найдовший шлях від входу до вихідного затвора. Тестові схеми глибини є тривіальними, глибина дуже добре зрозуміла (повністю вирішена? Я не знаю ...), глибина також добре зрозуміла. Є результати, які показують, що розв’язання задачі для контуру глибини та глибини майже те саме, що і рішення загального випадку.$2$$3$$4$$3$$4$
• Верхній / нижній вентилятор: для схем з обмеженою глибиною було доведено багато результатів, коли вхід вентилятора (або сукупність, тобто кількість входів до даного затвору) або верхнього, або нижнього воріт обмежений.
• Також були вивчені інші обмеження, такі як обмеження кількості використаних змінних.

Це опитування Нітіна Саксени є хорошим джерелом для цих результатів. Зауважте, що це вже не один рік (!), І це дуже активна область. Тож останні результати не висвітлюються.

Нарешті, існують зв’язки між дерандомізацією ПДФО та дерандомізацією інших проблем:

• Нормалізаційна лема Нотера, Кетан Д. Малмулі;
• Багатофакторна факторизація поліномів : Свастік Коппарті, Сараф Шубхангі та Амір Шпілка.