Розбиття краю на трикутники веселки

Мені цікаво, чи не є наступною проблемою NP-важко.

Введення: простий графік і забарвлення ребер ( не перевіряє жодної конкретної властивості).$G = (V,E)$$f : E \to \{1,2,3\}$$f$

Питання: чи можна розділити на трикутники, щоб кожен трикутник мав по одному краю кожного кольору?$E$$|E|/3$

Я знаю, що без кольорів проблема "розділення краю" графіка на , є NP-важкою (див . NP-повнота деяких проблем з розділенням краю ), але з кольорами я не знаю.$K_n$$n \geq 3$

Мене також зацікавив би результат для крайової перегородки у веселку , з постійною. Звичайно, в цьому випадку проблема стає:$K_c$$c$

Введення: простий графік і забарвлення ребер ( не перевіряє жодної конкретної властивості) .$G = (V,E)$$f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$$f$

Питання: чи можна розділити на$E$$|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$ , таким чином, щоб у кожної кліки було по одному краю кожного кольору?$K_c$

Я перейшов за посиланням у питанні, і зменшення там насправді створює графіки, краї яких мають природне забарвлення таким, що кожне $K_n$ присутній у графі - це «веселка $K_n$"(має рівно один край кожного кольору). Іншими словами, ми можемо легко регулювати зменшення цього паперу так, щоб воно зменшувалося до вашої проблеми, а не зменшувалося до розділу на $K_n$s проблема: просто призначте кожному краю колір відповідно до цього природного забарвлення, і тоді графік можна розділити на "веселка" $K_n$s "якщо і лише тоді, коли його можна було б розділити на $K_n$s взагалі.

Основну структуру скорочення цього документу можна виконати за допомогою наступних 3 кроків:

1. Створіть багато копій певного графіка $H_{n,p}$.
2. Визначте певні фрагменти деяких копій $H_{n,p}$ один з одним (тобто злиття вершин / країв між декількома різними копіями $H_{n,p}$).
3. Видаліть певні вершини / краї з деяких копій.

Графік $H_{n,p}$ має вершини набір довжини-$n$ вектори по модулю $p$ до яких додаються компоненти $0$ мод $p$. Краї з'єднують кожні дві вершини, що відрізняються лише двома компонентами з відмінностями$+1$ і $-1$ у цих двох компонентах.

Я пропоную наступне забарвлення для цього графіка: призначте колір кожному краю відповідно до його напрямку. Якщо$x$ і $y$ є сусідніми вершинами, то $x-y$ є вектором с $n-2$ компоненти, рівні $0$, одна складова дорівнює $1$ і одна складова дорівнює $-1$. Іншими словами, для кожного краю$(x, y)$ там є ${n \choose 2}$ варіанти, для яких компонентів $x-y$є ненульовими. Якщо ми призначимо унікальний колір кожному з цих варіантів, то у нас є забарвлення для всіх країв таким чином, що кожне ребро в одному напрямку має однаковий колір. Переконатись, що в a немає двох ребер$K_n$ в $H_{n,p}$йдуть в одному напрямку. Тому кожен$K_n$ в $H_{n,p}$ - це веселка $K_n$ під цим забарвленням.

Коли ми стежимо за зменшенням, ми використовуємо це забарвлення для кожної копії $H_{n,p}$. Тому наприкінці кроку 1 у списку вище, кожен$K_n$ у графі - веселка $K_n$.

На кроці 2 вищенаведеного списку ми ототожнюємо деякі вершини / ребра один з одним. Зокрема, у скороченні ми завжди визначаємо:$K_n$ з іншим $K_n$. Але в цій ситуації (де всі$K_n$s - з копії $H_{n,p}$), кожен $K_n$ є або перекладом "стандарту $K_n$", яку називає папір $K$ або переклад $-K$. Тому ми або ототожнюємо дві паралелі$K_n$s або два $K_n$s, які "перевертають" один одного. В будь-якому випадку краї, які ідентифікуються поперек двох$K_n$s паралельні і тому одного кольору. Наприклад, див. Рисунок 2 у статті; краї, які ототожнюються, завжди паралельні. Таким чином, оскільки ми ніколи не намагаємося ідентифікувати два краї різних кольорів, забарвлення в кінці кроку 1 у наведеному вище списку можна природно розширити на забарвлення в кінці кроку 2. Ідентифікація певних вершин / країв разом не створює будь-який новий$K_n$s, тому в кінці цього кроку все ще справа $K_n$ - це веселка $K_n$.

Нарешті на кроці 3 ми видаляємо кілька вершин / ребер, що також не створює нових $K_n$с. Таким чином, ми маємо бажане властивість: під фарбування, яке я надав, кожен$K_n$ у графіку, породженому цим скороченням, є веселка $K_n$.