Достатні умови для краху ієрархії поліномів (PH)

Які є деякі (невідомі) твердження, що якщо істинно, PH повинен руйнуватися?

Відповіді, що містять коротке твердження високого рівня з посиланням (-ями), оцінені вдячні. Я намагався здійснити зворотний пошук без особливої ​​долі.

Існує (зростаюча) кількість параметрованих результатів складності, коли існування кернелізації поліноміального розміру передбачає крах PH на третій рівень. Центральна методика наведена в роботі [1], спираючись на попередню роботу (на яку посилається в [1]).

Як простий приклад, проблема -Path - це параметризована версія проблеми "Найдовший шлях":$k$

$k$ Екземпляр шляху : Графік і ціле число . Параметр : . Питання : Чи містить шлях довжиною ? G k k G k
$G$$k$
$k$
$G$$k$

Ця проблема є у FPT (з дещо практичними алгоритмами), але в роботі [2] вони показують, що якщо у неї ядро ​​поліноміально розміру (в ), то PH згортається на . (Поточна презентація, як правило, виражається як негативний результат керналізації, за винятком випадків, коли NP coNP / poly або coNP NP / poly, тому пошук чогось типу "немає поліноміального ядра, якщо" не дає багато результатів.)Σ P $k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Список літератури

1. HL Bodlaender, BMP Jansen, S. Kratsch, "Кернелізація нижніх меж перехресним складом", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), pp. 277–305. [версія arXiv]
2. Х. Л. Бодлендер, Р. Г. Дауні, М. Р. Коллеги, Д. Гермелін, "Про проблеми без поліноміальних ядер", Журнал комп'ютерних та системних наук, 75 (8): 423-434. 2009. [В Сенфорді розміщена версія]

Ось ще одна цікава умова, за якої поліноміально-ієрархія руйнується на третій рівень: Припустимо, мова NP-повної має випадкове самовідновлення (неадаптивне), тоді поліномальна ієрархія згортається до . Для довідки: подивіться примітки Лука Тревісана . (Теорема 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Ще одна цікава умова:

Ми знаємо, що наближення знаходиться в (тепер в робить наближення в ).B P P N P B P P Σ P 2 # 3 S A T Σ P$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

Також за теоремою Тоди .$PH \subseteq P^{\#P}$

Поєднавши ці два, ми отримаємо: Якщо наближення еквівалентно точно обчислюванню , тоді поліноміальна ієрархія руйнується.# 3 S A $\#3SAT$$\#3SAT$

Колапс PH має на увазі крах булевої ієрархії . Початковий результат обумовлений Кадіном [1]; його вдосконалили Чанг і Кадін [2], щоб показати, що

Список літератури:

[1] Джим Кадін, Ієрархія поліномів часу руйнується, якщо булева ієрархія руйнується , SIAM Journal of Computing 17 (1988), вип. 6, арк. 1263–1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Річард Чанг та Джим Кадін, Булева ієрархія та поліноміальна ієрархія: тісніший зв’язок , журнал SIAM on Computing 25 (1996), вип. 2, стор. 340–354, doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

Обчислення унікальних рішень для проблем руйнується ( Hemaspaandra-Naik-Ogihara-Selman ), але вам потрібно бути трохи обережними, як ви формалізуєте це твердження. (Наприклад, воно НЕ відомо , є чи руйнується .) Один формалізації виглядає наступним чином :$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

Припустимо, є такий, що для кожної формули 3SAT , якщо незадовільна, то немає , що , і якщо є задоволеним, тобто унікальний таким чином, що . Тоді згортається.$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Інша формалізація:

$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$ означає, що руйнується.$\mathsf{PH}$

Існує великий вибір результатів, згідно з яким припущення, що PH не руйнується. Нехай , тобто не руйнується. Тоді такі результати можуть бути узагальнені як , де B - результат доведений.$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

За простою контрастною ознакою, будь-який такий результат еквівалентний , тобто якщо результат не є безумовним, то також повинен руйнуватися. Історично ці результати служили двом цілям:$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. Підвищити впевненість в інтуїції, що не руйнується, показавши, що це означає результати, які ми вважаємо правдивими (або рівнозначно контрастними, що малоймовірні результати означають крах).$\mathbb{PH}$
2. Щоб встановити мережу результатів, які є істинними, якщо хтось приймає не руйнується, не потрібно чекати підтвердження цього результату. тобто встановити умовні результати.$\mathbb{PH}$

Примітка. Також незвично, що документи припускають, що не руйнується крім деяких інших гіпотез, наприклад, (узагальненої) гіпотези Рімана. Тоді контрастний показник просто показує, що хоча б одна з гіпотез помилкова.$\mathbb{PH}$

Ось кілька стислих:

1. $PSPACE \subseteq P/poly$ .
2. $EXP \subseteq P/poly$ .
3. $NP \subseteq P/log$ .