Які рандомізовані алгоритми мають експоненціально малу ймовірність помилок?

Припустимо, що рандомізований алгоритм використовує $r$ випадкових бітів. Найменша ймовірність помилок, яку можна очікувати (не виходячи з детермінованого алгоритму з 0 помилкою), становить $2^{-\Omega(r)}$ . Які рандомізовані алгоритми досягають такої мінімальної ймовірності помилок?

Кілька прикладів, які приходять на думку, такі:

Алгоритми вибірки, наприклад, коли потрібно оцінити розмір набору, для якого можна перевірити членство. Якщо зразки однаково випробовують елементи для перевірки, обмеження Черноффа гарантує експоненціально малу ймовірність помилок.
Алгоритм Каргера-Кляйна-Тарджана для обчислення дерева мінімального прольоту. Алгоритм вибирає кожне ребро з вірогідністю 1/2 і рекурсивно знаходить MST у вибірці. Можна використати Черноффа, щоб стверджувати, що це експоненціально малоймовірно, що там буде 2n + 0,1 м краї, які кращі за дерево (тобто, ви вважаєте за краще взяти їх за один з країв дерева).

Чи можете ви придумати інші приклади?

Дотримуючись відповіді Андраса нижче: Дійсно, кожен алгоритм багаточленного часу може бути перетворений на більш повільний алгоритм поліноміального часу з експоненціально малою ймовірністю помилок. Моя увага зосереджена на максимально ефективних алгоритмах. Зокрема, для двох прикладів, які я наводив, є детерміновані багаточленні алгоритми часу, які вирішують проблеми. Інтерес до рандомізованих алгоритмів пояснюється їх ефективністю.

randomized-algorithms

— Дана Мошковіц
джерело

Не повна відповідь, але була проведена деяка робота з рандомізованої числової лінійної алгебри. youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— Baby Dragon

Можливо , ніхто не може очікувати , але можна , звичайно , надія ( по- , як і раніше «далекі від детермінованого алгоритму з 0 помилок») , що для всіх дійсних чисел

c

$c\hspace{-0.02 in}$ , якщо

c < 1

$\: c<1 \:$ то є алгоритм

$\hspace{.34 in}$ чия ймовірність помилок

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$ .

$\:$ Я вважаю, тестування поліномної ідентичності є такою проблемою.

$\hspace{.49 in}$

@RickyDemer Я не розумію ваш коментар. Звичайний рандомізований алгоритм для ПІТ має помилку, яка не є експоненціальною у випадковості. То що ти кажеш? Ви хочете сказати, що може існувати такий алгоритм для будь-якої проблеми BPP?

— Сашо Ніколов

Тепер я розумію, що насправді я не бачу жодного способу показати, що ПІТ є в описаному мною класі.

$\:$ З іншого боку, дозволити

бути надполіномом у

(тобто дозволити довжину (S) надлінійною довжиною (d)) було б достатньо для лемми Шварца-Зіппеля

S

$S$

d

$d$

$\:$ (продовження ...)

$\;\;\;\;$

Багато конструкцій імовірнісних методів мають таку поведінку, ні? Наприклад, вибір випадкового набору двійкових рядків і перегляд їх найближчої пари - ймовірність того, що на відстані менше

буде два рядки, дуже мала. -------------------------------------------------- ----------------------- В дусі відповіді БПП нижче: Враховуючи постійний розширювач градусів, з n вершинами та

позначеними вершинами, ймовірність випадкової прогулянки довжиною

пропустити помічену вершину становить

, якщо

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— Саріель Хар-Пелед

Відповіді:

Імпальязцо та Цукерман довели (FOCS'89, див. Тут ), що якщо алгоритм BPP використовує випадкових бітів для досягнення ймовірності правильності принаймні 2/3, то, застосовуючи випадкові прогулянки на графах розширення, це може бути покращено до ймовірності правильності з , використовуючи випадкові біти. ( Примітка: хоча автори використовують реферат 2/3 в рефераті, його можна замінити будь-якою іншою постійною, що перевищує 1/2.) $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

Якщо ми візьмемо , то це означає , що будь-який алгоритм , який досягає БППИ постійної ймовірності помилки , з використанням випадкових біт, може бути (нетривіально) покращено , щоб мати можливість помилки . Таким чином, (якщо я щось неправильно зрозумів), ймовірність помилок досяжна для кожної проблеми в BPP. $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— Андрас Фараго
джерело

Проблема таких методів посилення полягає в тому, що вони сповільнюють алгоритм. Новий алгоритм може використовувати лише випадкові біти O (r), але час його виконання становить r разів (початковий час виконання). Якщо r, скажімо, принаймні лінійний у вхідному розмірі n (яким він зазвичай є), ви просто уповільнили алгоритм коефіцієнтом n. Це не те, чому б раділи більшість алгоритмів ...

— Дана Мошковіц,

Я не впевнений, що це те, що ви шукаєте, але це пов'язано:

$k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

$t$ $4^{-t}$

p_{k, t} \leq O (k \cdot 4^{- t}) .

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

$t=1$

p_{k, 1} \leq 2^{- (1 - o (1)) \frac{k \ln \ln k}{\ln k}} \leq 2^{- \tilde{Ω} (k)} .

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$

Докладніші відомості див. У Erdös and Pomerance (1986) , Kim and Pomerance (1989) та Dåmgard, Landrock, Pomerance (1993) .

$O(k^2)$ $O(k)$

— Томас підтримує Моніку
джерело