Два варіанти НП

Ось дві варіанти визначення NP. Вони (майже напевно) визначають окремі класи складності, але моє запитання: чи існують природні приклади проблем, які вписуються в ці класи?

(Мій поріг того, що тут вважається природним, трохи нижчий, ніж зазвичай.)

1 клас (суперклас НП): Проблеми зі свідками розміру полінома, які потребують перевірки суперполіноміального, але субекспоненціального часу. Для конкретності скажімо час . Це еквівалентно класу мов, визнаних недетермінованими машинами, які потребують часу але можуть робити лише полі (n) недетерміновані здогадки. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Чи існують природні проблеми в 1 класі, які не відомі / вважаються ні $NP$ ні $DTIME(n^{O(\log n)})$ ?

Клас 1 - це клас мов, як завжди. З іншого боку, 2 клас - це клас реляційних проблем:

Клас 2: Двійкове відношення R = {(x, y)} є в цьому класі, якщо

Існує поліном p такий, що (x, y) в R означає | y | становить максимум p (| x |).
Існує полі (| x |)-алгоритм A такий, що для всіх входів x, якщо є такий, що (x, y) знаходиться в R, то (x, A (x)) знаходиться в R, і якщо такої у немає, то A (x) відкидає.
Для будь-якого алгоритму полі (| x |) часу B існує нескінченно багато пар (x, w), таких що B (x, w) відрізняється від R (x, w) (тут я використовую R для позначення власної характеристики функція).

Іншими словами, для всіх випадків деякого свідка легко знайти, якщо він є. І все ж не всіх свідків легко перевірити.

(Зауважте, що якщо R знаходиться у 2 класі, то проекція R на його перший фактор є просто в P. Це я мав на увазі, кажучи, що клас 2 - це клас реляційних задач.)

Чи існують природні проблеми реляції у 2 класі?

— Джошуа Грохов
джерело

Я не впевнений у питанні. Ви хочете проблем, які, очевидно, є в одному з класів, а не в іншому?

— Лев Рейзін

Ні. Для кожного класу мені цікаво окремо, чи є природні проблеми, які входять у клас, але, як відомо, вони не входять до інших стандартних класів складності. Наприклад, я хотів би дізнатися, чи існує природна проблема в 1 класі, яка, як відомо, не знаходиться в НП.

— Джошуа Грохов

Я думаю, ви хочете переписати умову 2 для класу 2, оскільки в іншому випадку A може бути тривіальним алгоритмом, який завжди відкидає. Ваш словесний опис нижче здається більш розумним.

— Енді Друкер

Для класу 2 одним дещо нерозумним прикладом є R (p, a) = {p - цілий многочлен, a знаходиться в діапазоні p, а | a | = O (poly (| p |)}. R знаходиться у 2 класі, але не можна визначити.

— Енді Друкер

Енді - чому б не опублікувати це як відповідь замість коментаря?

— Джошуа Грохов

Відповіді:

Для 2 класу є один дещо дурний приклад

R (p, a) = {p - цілий многочлен, a знаходиться в діапазоні p, а | a | = O (poly (| p |)}.

R знаходиться у класі 2, але не визначається.

— Енді Друкер
джерело

Раніше я думав, що це правильно, але тепер я переплутав себе. Нехай r - полізв'язаний, а p - ціле полі. Тоді

є кінцевим, де | p | позначає бітну довжину опису p. Тому я думаю, що проблема вирішується, але все ще видається складною, оскільки найкращі загальні межі цього набору є (я думаю) експоненційними у | p |.

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

— Джошуа Грохов

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

Ага так. В цьому я і сам переконався раніше :). Дякую.

— Джошуа Грохов

Я просив би вам трохи роз’яснити стан свідків у 1 класі. Здається, що будь-яка відповідно обмежена проблема ко-НП могла б зробити трюк, це те, що ви задумали?

$\log n$

— Magnus Wahlström
джерело

n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Я відповідно оновлю питання). Мені цікаво, чи може зробити якусь версію якоїсь іншої параметризованої проблеми, але я не надто знайомий із параметризованою складністю.

— Джошуа Грохов

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$ - поліноміальний предикат, який можна обчислити, з m = полілог n.

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Це, мабуть, не в QP, тому що він може виражати всі проблеми в NP, і, мабуть, не в NP, тому що він може виражати всі проблеми в co-NTIME (полілог).

— Робін Котарі
джерело

Що робити, якщо замінити

f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Так, я думаю, це спрацювало б.

— Робін Котарі