Як довести, що USTCONN вимагає логарифмічного простору?

USTCONN - проблема, яка вимагає вирішити, чи існує шлях від вихідної вершини до цільової вершини в графі , де всі вони задані як частина вводу.$s$$t$$G$

Омер Рейнгольд показав, що USTCONN знаходиться в L (doi: 10.1145 / 1391289.1391291 ). Доказ будує розширювач постійного ступеня за допомогою zig-zag виробу. Розширювач постійного ступеня має логарифмічний діаметр, і потім можна перевірити всі можливі шляхи, використовуючи постійну кількість маркерів розміру логарифмічного розміру.

Результат Рейнгольда дає логарифмічну верхню межу складності простору USTCONN, вирішуючи його просторову складність "до постійного коефіцієнта" згідно з роботою. Мені цікаво відповідна нижня межа, яка ніде в статті не згадується.

Як можна довести, що логарифмічний простір необхідний для вирішення питання USTCONN в гіршому випадку?

Редагувати: Зафіксуйте вхідне подання матрицею суміжності базового симетричного простого спрямованого графіка вершини із рядками, переліченими послідовно, для формування бітового рядка.$N \times N$$N$$N^2$

Льюїс і Пападімітріу показали (doi: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ), що USTCONN є SL-повним, що з результату Рейнгольда означає, що SL = L. Савич показав (doi: 10.1016 / S0022-0000 (70) 80006-X ), що . Далі для будь-якої обчислюваної функції Стіарнсом, Хартманісом та Льюїсом (doi: 10.1109 / FOCS .1965.11 ), тому принаймні потрібно для USTCONN. Нарешті, звичайні класи, як відомо, знаходяться нижче L (наприклад,$\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$$\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$$f(n) = o(\log\log n)$$\Omega(\log\log n)$$\text{NC}^1$) визначаються за допомогою ланцюгів і очевидно не можна порівняти з будь-яким класом, визначеним з точки зору простору.

Наскільки я бачу, це залишає відкритою (мабуть, малоймовірною) можливість того, що існує ще кращий детермінований алгоритм, який використовує лише пробіл але , для деякого , або навіть недетермінованого алгоритму для USTCONN, який використовує простір.$O((\log n)^\delta)$$\Omega(\log \log n)$$\delta < 1$$o((\log n)^{1/2})$

За теоремою простір ієрархії , до тих пір, е (п) є просторово-конструктивні. Це може здатися припустити , що USTCONN не може бути в \ text {DSPACE} (o (\ log n)) . Однак, завершення USTCONN для L при зменшенні простору журналу не означає цього, мабуть, все ще можливо, що USTCONN має достатню структуру для кодування будь-якої проблеми в L за допомогою скорочення простору журналу, але USTCONN сам вимагає лише сублогіаритмічного простору.$\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$$f(n)$$\text{DSPACE}(o(\log n))$

Поки в L є деяка мова, яка вимагає логарифмічного простору, то показ, що USTCONN є повним для L при строго "слабшому", ніж зменшення простору журналу, дасть бажану нижню межу.

Чи USTCONN повна для L при зменшенні, що вимагає пробілу?$o(\log n)$

Іммерман показав (doi: 10.1137 / 0216051 ), що версія спрямованої досяжності, в якій бажаний шлях (але не сам графік) є детермінованим, є повним для L при скороченнях першого порядку, які можна обчислити за ланцюгами AC . Потім це може бути адаптовано, щоб показати, що USTCONN є повним для L при зменшенні FO. Однак, хоча AC суворо міститься в L, AC знову є класом ланцюга, і я не знаю жодного способу виконання FO-скорочень у сублогіаритмічному просторі.$^0$$^0$$^0$

Редагувати 2015-07-14: Цікавим є філософське питання про те, чи повинен використання простору ТМ включати розмір індексу на вхід (таким чином, дозволяючи випадковий доступ до входу, але потрібен додатковий біт, якщо вхід подвоюється за розміром ), чи простір, який використовує ТМ, - це кількість квадратів робочої стрічки, відвіданих під час обчислення (що передбачає, що вхідна стрічка головки закріплена і не змінюється, коли вхідна стрічка подвоюється за розміром). Колишнє визначення стилю оперативної пам’яті одразу дає нижню межу журналу простору для будь-якогообчислення та моделює поточні комп’ютери, які відслідковують поточну позицію у файлі як зміщення від початку файлу. Останнє класичне визначення передбачає паперову стрічку з фіксованою головою для читання, яка нічого не знає про стрічку, окрім поточного символу введення, що, можливо, те, що Тюрінг задумав у своїй статті 1937 року.

Евристичні аргументи, такі як коментар Томаса про те, що навіть неможливо індексувати вхід пробілами , здаються, передбачають сучасне визначення стилю ОЗУ. Stearns / Hartmanis / Lewis використовують визначення стилю TM, як і більшість класичних робіт у обчисленні, обмеженому простором.$o(\log n)$

Можна довести нижню межу простору журналу для USTCONN, представлену як матриця суміжності, зазначивши, що для одинарної мови досконалих квадратів потрібно розпізнавати журнальний простір (див. Русіш Фрейвальдс, Моделі обчислень, Гіпотеза Рімана та Класична математика , SOFSEM 1998, LNCS 1521, 89 . -106 DOI: 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( препринт)). Тоді така ж нижня межа застосовується до USTCONN з представленням матриці суміжності. Це, мабуть, занадто велика обман: зазвичай виконання обіцянки в проблемі з обіцянкою має бути простим порівняно з фактичною проблемою, але тут примусове виконання обіцянки, що вхід є графіком, вже дає нижню межу. Тож було б добре бачити аргумент нижньої межі журналу для проблеми обіцянки, коли вхід гарантовано з мови .$\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

У статті « Підрахунок кванторів, відносин спадкоємців та логарифмічного простору» Куша Етессамі доводить, що проблема (яка по суті перевіряє, чи вершина передує вершині у перевершенні одного графа , що обіцяно бути шляхом ) є -твердий за прогнозами без кількісних показників.$\mathbf{ORD}$$s$$t$$G$$\mathsf{L}$

Проблема можна побачити , зводиться до задачі , по -reductions: З огляду на екземпляр з просто видалити край з і вивести інші ребра як непрямі краї питання , чи пов'язані у отриманому графіку. (Примітка. Скорочення, ймовірно, може бути ще більш точним.)$\mathbf{ORD}$$\mathbf{USTCONN}$$\mathsf{FO}$$\langle G,s,t\rangle$$\mathbf{ORD}$$t$$u \rightarrow v$$\{u,v\}$$\mathbf{USTCONN}$$s,t$