Кількість вершин, присутніх у всіх максимальних відповідностях

Враховуючи графік , нам потрібно знайти кардинальність найбільшого набору вершин, щоб кожна з них була присутня у кожному можливому максимальному зіставленні. $G$

Чи є рішення поряд із очевидним видаленням кожної вершини та знайдіть максимальну відповідність, щоб побачити, що вона зменшується?

graph-theory graph-algorithms

— Хоуін Кюма
джерело

Я не бачу, як те, що ви запропонували, навіть є рішенням.

$\:$ (Розглянемо трикутник.)

$\hspace{1.4 in}$

@ RickyDemer спочатку ми знаходимо максимальну відповідність у цілому графіку. Потім ми видаляємо вершину і знову знаходимо максимальну відповідність. Якщо різниця дорівнює 1, то можна сказати, що ця вершина присутня у всіх максимальних відповідностях.

— evil999man

Чи слід "знайти максимальну відповідність" замінити на "знайти максимальну відповідність" або "знайти максимальну відповідність"?

$\;$

Я думаю, що його слід замінити розміром максимальної відповідності.

— evil999man

@Awesome має рацію. Я відредагую своє запитання.

— Hououin Kyouma

Відповіді:

Я думаю, ви хочете розкласти графік Едмондса-Галлая, який можна обчислити за час (див. Ці примітки ). $O(n^3)$

— Томас Каліновський
джерело

Мені потрібен лише розмір, а не самі вершини. Чи можна це зробити в O (n ^ 2)? І спасибі за папір

— Hououin Kyouma

Ваш графік двосторонній? Тому що, якщо це так: припустимо, що одна сторона ділення розділена, а інша - права. Знайдіть максимальну відповідність та орієнтуйте всі відповідні краї ліворуч на право та всі нерівні краї праворуч наліво. Тоді вершина може бути опущена з максимальної відповідності, якщо і лише якщо виконується одна з трьох наступних (взаємовиключних) умов: $v$

вже не має аналогів $v$
може бути досягнуто з незрівнянної вершини на його стороні від поділу в отриманому диграфові $v$
може досягати незрівнянної вершини на її стороні від поділу в отриманому диграфові. $v$

Здійснивши два перших або глибинних пошуку, щоб знайти частини графіка, до яких можна дістатися з неперевершених вершин, і одну, щоб знайти частини, які можуть досягти неперевершених вершин, ви зможете знайти основні вершини за лінійний час, як тільки ви вже є відповідність.

Можливо, щось подібне також буде працювати для випадку, що не має двосторонньої сторони, використовуючи альтернативний пошук шляхів пошуку за контрактом, але деталі будуть складнішими.

— Девід Еппштейн
джерело

Мені цікаво, як би ви це зробили в загальному графіку. Чи можете ви пояснити це?

— evil999man

Якби я це вже детально опрацював, я б включив це у свою відповідь. Але в основному ви просто хочете знайти вершини, до яких можна дійти шляхом чергування контурів з недосяжних вершин, оскільки це ті, які, можливо, можуть залишитися незрівняними. Пошук змінного шляху повинен бути майже таким самим, як той, який ви використовуєте для пошуку відповідності в першу чергу.

— Девід Еппштейн

Вибачте за пізній коментар. Мій графік загальний. Я спробую продумати метод

— Хоуін Кюма