MLTT ефективно pCiC без підтримки?

Чи в основному теорія типу Мартіна-Льофа є предикативним численням індуктивних конструкцій без непередбачуваного ? $\mathtt{Prop}$

Якщо вони тісно пов'язані, але мають більше відмінностей, ніж просто , то які ці відмінності? $\mathtt{Prop}$

type-theory calculus-of-constructions

— користувач
джерело

У моїй книзі MLTT є (давньою та усталеною) інтуїтивістською теорією залежного типу, в той час як я пов'язую обчислення конструкцій з помічником Coq proof. Але я можу помилятися.

— Томас Клімпель

MLTT використовує типи ідентичності для боротьби з рівністю. Якою була б рівність в предикативній фрагменті СІС?

— Мартін Бергер

@MartinBerger: CiC також має типи ідентичності!

— коді

Це трохи схоже на запитання, чи є Великобританія ЄС без інших 27 країн-членів :-)

— Андрій Бауер

@AndrejBauer Якби я був достатньо дотепним, я придумав брексітський жарт, але, на жаль, це не так. :-P

— користувач

Коротка відповідь - так, MLTT можна розумно прирівняти до CIC без непередбачуваності Prop.

Основне технічне питання полягає в тому, що існує кілька десятків варіантів, коли йдеться про теорію типу Мартіна-Лефа, і, можливо, що більш дивно, коли йдеться про CIC. Наприклад, з версії CIC, визначеної в тезі Бенджаміна Вернера, її навіть не має сенсу видаляти Prop, оскільки в ній немає ні Setвсесвітів Type.

Основними варіаціями, які можна врахувати в будь-якій з цих теорій, є:

Всесвіти : скільки і як їх визначено (Palmgren, On Universes in Theory Type , обговорюється багато нееквівалентних варіацій), і чи визнається поліморфізм Всесвіту чи ні .
Які індуктивні типи / сімейства : Agda допускає індуктивно-рекурсивні типи, але існує набагато більше свідомих варіацій залежно від того, наскільки дозволені "великі" типи в конструкторах та елімінаторах, обробці параметрів та індексів тощо.
Інжективність конструкторів типу . Це призводить до невідповідності системи ЕМ в Агді. Звичайно, Епіграма має більш екстремальну "Теорію спостережливого типу", але це взагалі можна вважати чимось іншим.
Аксіома К : це безкоштовно для певних версій залежної відповідності шаблону.
$\frac{Γ ⊢ t : {I d}_{T y p e} A B}{Γ ⊢ A = B}$ $\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$
Наявність коіндуктивних типів та пов'язаних з ними принципів усунення.

Всі перераховані вище варіанти (крім OTT) були розглянуті в літературі та пов'язані з назвою "Теорія типу Мартина-Лефа" або "Обчислення індуктивних конструкцій", здебільшого через їх зв'язок із системами Agda та Coq відповідно.

Отже, довга відповідь полягає в тому, що немає єдиної думки щодо того, що саме є визначенням будь-якої з цих систем.

— коді
джерело