Чому поліпшення алгоритму Шорса Одлізка зменшує кількість випробувань до

У своїй роботі " Поліноміально-часові алгоритми для факторної простіризації та дискретних логарифмів на квантовому комп'ютері" Пітер В. Шор розглядає вдосконалення щодо частини порядку свого алгоритму факторизації. Стандартні виходи алгоритму , дільник порядку з по модулю . Замість того, щоб перевіряти, чи перевіряючи, чи , поліпшення полягає в наступному: $r'$ $r$ $x$ $N$ $r'=r$ $x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[F] або кандидат $r$ слід враховувати не тільки $r ′$ але й його малі кратні $2r ′ , 3r ′ , \dots$ , щоб побачити, чи це фактичний порядок $x$ . [... Ця] методика зменшить очікувану кількість випробувань для найважчого $n$ з $O(\log \log n)$ до $O(1)$ якщо перший ( $\log n)^{1+\epsilon}$ кратний з $r ′$ Вважаються [Одільцко 1995].

Посилання на [Odylzko 1995] - це "особисте спілкування", але я не був присутній, коли Петро Шор та Андрій Одлізько обговорювали це ... Я прекрасно розумію, чому це поліпшення, але я не знаю, як показати число випробувань зводиться до $O(1)$ . Чи знаєте ви якісь докази цього?

quantum-computing nt.number-theory factoring

— Фредерік Гроссханс
джерело

Що робить алгоритм? По суті, він займає

r

$r$ і випадковий

ℓ \leq r

$\ell \leq r$ і виводить

r^{'} = r / g c d (ℓ, r)

$r' = r/gcd(\ell,r)$ . тому якщо ви перевіряєте всі невеликі кратні

r^{'}

$r'$ , то дуже ймовірно, що

r

$r$ є одним із них. Чому

(\log n)^{1 + ϵ}

$(\log n)^{1+\epsilon}$ дає

O (1)

$O(1)$ ? Це теорія чисел. Андрій Одлізько є теоретиком чисельності, і я радився з ним щодо цієї проблеми, але я зовсім забув його виправдання для цього.

— Пітер Шор,

Спасибі! Схоже, мені потрібно самому шукати теоретика числа!

— Фредерік Гроссханс

Ви можете спробувати MathOverflow .

— Каве

Я думаю про це. Я, мабуть, переформулюю це більш «теоретично числом» для цього, якщо скоро не отримаю відповіді. Я думаю, що це можна переосмислити як суму тотиентних функцій.

— Фредерік Гроссханс

@Kaveh: Пов'язане питання про MathOverflow , задаючи відповідне питання з теорії чисел, яке, я думаю, рівнозначне.

— Frédéric Grosshans