Чи може спадковий графічний клас містити майже всі, але не всі, n-вершинні графіки?

10

Нехай - спадковий клас графіків. (Спадковий = замкнуто щодо взяття індукованих подграфов.) Нехай позначить безліч -vertex графів в . Скажемо, що містить майже всі графіки, якщо частка всіх -поверхових графіків, що падають у наближається до 1, як . $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

Питання: Чи можливо, що спадковий графік класу містить майже всі графіки, але для кожного є принаймні один графік, якого немає у ? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Андрас Фараго
джерело

10

Відповідь буде ні - при фіксованому нехай бути число вершин в найменшому графі не в . Тепер розглянемо набагато більший за . Для випадкового графіка на вершин вірогідність того, що перші вершини індукують залежить лише від . Розбиття вершини, встановленої на непересічних наборів розміру і враховуючи ймовірність того, що жоден із множин не дорівнює показує, що ймовірність перебування в має тенденцію до як $Q$ $t$ $H$ $Q$ $n$ $t$ $n$ $t$ $H$ $t$ $n/t$ $t$ $H$ $Q$ $0$ $n$ збільшується.

— даніелло
джерело

5

Це сильніше доводить, що будь-який нетривіальний спадковий клас містить частку всіх графіків, що скорочується як . При поділі на безліч реберно непересічних «и і використовуючи той же аргумент , що має бути можливо посилити це в щось більше , як .

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— Девід Еппштейн

@Andras Farago: Невідома відповідь також може бути безпосередньо виведена з відомих результатів гіпотези Ердос-Хайнал [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture] . Отримане обмеження не настільки добре (здається, що ви отримуєте лише частку .

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— Луї Есперет

1

@David Eppstein: Я думаю, що саме те, що ви отримуєте, рекурсивно застосовуючи ( разів) наступний класичний результат. Якщо є проективна площина порядку то набір ребер можна розділити на крайові, копії .

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Луї Есперет

10

Щоб додати відповідь Даніеля, точна щільність спадкових класів була широко досліджена в комбінаториці. Для структур класу , не маркований зріз - це набір класів ізоморфізму структур у які мають вершин. (Без маркування) швидкість конструкцій класу структур. Позначимо клас графів . Питання полягає в тому, чи для будь-якого спадкового класу графів . $C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ $Q$

Оскільки межа є завжди 0 для спадкового , то основним питанням є те, як функціясебе поводить. Нехай позначає кількість цілих розділів , де . Виявляється, незазначена швидкість "стрибає": абополіноміально обмежена або інакше . $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

Йозеф Балог, Бела Болобас, Майкл Сакс та Віра Т. Сос, Непомітна швидкість спадкової властивості графів , Журнал теорії комбінації, серія B, 99 9–19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( додрук )

— Андраш Саламон
джерело