Які існують докази того, що графний ізоморфізм не знаходиться в

Мотивований коментарем Fortnow до мого поста, Докази того, що проблема Ізоморфізму Графа не є незавершеною$NP$ G I N P N P P G I P , і тим, що є головним кандидатом на проміжну проблему (не незавершена і не ), мене цікавлять відомі докази що не в .$GI$$NP$$NP$$P$$GI$$P$

Одним з таких доказів є незавершеність обмеженої задачі щодо автоматичного графізму графів (проблема автоматизованого вільного графу з фіксованою точкою є неповною). Ця проблема та інші узагальнення вивчались у « Деякі проблеми, повні NP, подібні грамовому ізоморфізму » Любіва. Деякі можуть стверджувати, що доказ того, що, незважаючи на більше 45 років, ніхто не знайшов поліноміально-часовий алгоритм .$NP$$NP$G $GI$$GI$

Які ще докази ми маємо вірити, що не в ?$GI$$P$

Перед цим питанням я вважав, що Графічний ізоморфізм може бути в P, тобто немає жодних доказів, які б вважали, що GI не є P. Тому я запитав себе, що вважатиме для мене доказом: Якщо існували б зрілі алгоритми для - груповий ізоморфізм, який повною мірою експлуатував наявну структуру p -груп та все ще не сподівався б досягти поліноміального часу виконання, тоді я погодився б, що GI, ймовірно, не існує P. Є відомі алгоритми, які використовують наявну структуру, як тестування ізоморфізму для p - групи. автор: O'Brien (1994)$p$$p$$p$, але я не прочитав його достатньо детально, щоб оцінити, чи повністю вона використовує наявну структуру, чи є сподівання на вдосконалення цього алгоритму (не використовуючи додаткову неочевидну структуру груп) для досягнення поліноміального часу виконання.$p$

Але я знав, що Дік Ліптон закликав діяти наприкінці 2011 року для уточнення обчислювальної складності проблеми групового ізоморфізму загалом та конкретно проблеми ізоморфізму групи. Тому я гуглився$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

щоб переконатися, що заклик до дії був успішним. Це було дійсно:

1. Групова проблема ізоморфізму: можлива поліматна проблема?
2. Успіхи групового ізоморфізму
3. Три з CCC: Прогрес у груповому ізоморфізмі

В останньому повідомленні оглядів який досягає паперу у час виконання для деяких важливих сімейств груп, використовують більшу частину доступною структури, і підтверджують вказане вище паперів з 1994 Оскільки п виведення ( лог - лог - н ) у час виконання пов'язаних одночасно сумісний з досвідом, що ізоморфізм графа на практиці не є важким, і з досвідом, що ніхто не в змозі придумати алгоритм поліноміального часу (навіть для групового ізоморфізму), це можна вважати доказом того, що GI не в P .$n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

Найменший набір перестановок, який ви повинні перевірити, щоб переконатися, що нетривіальні перестановки в чорному полі не існують, ніж але все ще експоненціальний, OEIS A186202 .$n!$

Кількість бітів, необхідних для зберігання неозначеного графіка, дорівнює з . Дивіться Наор, Моні. "Коротке подання загальних маркованих графіків." Дискретна прикладна математика 28.3 (1990): 303-307. Якщо я пригадую, доказ методу стиснення трохи чистіший. У всякому разі, дозволяє виклик, набір . Нехай для маркованих графіків.$log_{2}$UL=2 (${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$$U$$L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

B o o l L $U^L$ і якщо перетворити на експоненти. Просто вивчити їх підписи типу, розміщуючи графіки в канонічній формі, виглядає простіше, але, як показано вище, GC робить GI легким.$Bool^{L^{L}}$

Кодзено в своїй статті Проблеми кліки еквівалентно ізоморфізм графів , дає доказ того, що не є в . Далі з статті:$GI$$P$

"Тим не менш, ймовірно, що знайти алгоритм поліноміального часу для ізоморфізму графіка буде настільки ж складно, як і знайти алгоритм поліноміального часу для повної NP-задачі. з яких NP-повний ".

Крім того, Бабай у своїй нещодавній проривній роботі " Графічний ізоморфізм" у квазіполіномічний час дає аргумент проти існування ефективних алгоритмів ГІ. Він зазначає , що проблема групового ізоморфізму (який зводиться до Г) , є основною перешкодою для розміщення GI в . Проблема групи Ізоморфізм (групи наведені їх Келі tableis) можна залагодити в і не відомо, що в .n O ( log n )$P$$n^{O(\log n)}$$P$

Ось уривок з статті Бабая:

Результат цієї роботи підкреслює значення проблеми групового ізоморфізму (і викладеної проблеми) як бар'єру для розміщення ГІ в П. Цілком можливо, що проміжний статус ГІ (ні NP-повний, ні поліноміальний час) буде зберігатися.

ось інші результати ще не наводяться

• Про твердість графіка Ізоморфізм / Torán FOCS 2000 та SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

  Покажемо, що задача ізоморфізму графа є важкою за однорідного зменшення величини ОД ⁰ DLOGTIME AC ⁰ для класів складності NL, PL (імовірнісний логарифмічний простір) для кожного логарифмічного просторового модульного класу Mod _k L і для класу DET задач NC ¹ зводиться до визначник. Це найсильніші відомі результати твердості для проблеми ізоморфізму графа і передбачають рандомізоване скорочення логарифмічного простору від ідеальної задачі відповідності графові ізоморфізму. Також ми досліджуємо результати твердості для задачі графома автоморфізму.

• Графічний ізоморфізм не змінює ⁰ AC до групового ізоморфізму / Чаттопадхей, Торан, Вагнер

  Ми даємо нову верхню межу для проблем групового та квазігрупового ізоморфізму, коли вхідні структури явно задані таблицями множення. Ми показуємо, що ці проблеми можна обчислити за допомогою недетермінованих схем безмежного вентилятора за розмірами полінома з обмеженою глибиною O (log log n) та O (log ² n) недетермінованими бітами, де n - кількість елементів групи. Це покращує існуючу верхню межу від [Wol94] для проблем. У попередній верхній межі ланцюги обмежили фанін, але глибиною O (log ² n), а також O (log ² n) недетермінованими бітами. Потім ми доводимо, що вид ланцюгів з нашої верхньої межі не може обчислити функцію Паритет. Оскільки Паритет AC ⁰зводиться до ізоморфізму Графа, це означає, що ізоморфізм Графа суворо важче, ніж Ізоморфізм Групи або Квазігрупи в порядку, визначеному скороченнями AC ⁰ .