Складність пошуку точки Борсук-Улам

Борсука-Улама теорема стверджує , що для кожної безперервної непарної функції з п-сфери в евклідовому просторі п-, існує точка таке , що .$g$$x_0$$g(x_0)=0$

Simmons and Su (2002) описують метод наближення точки використовуючи Таккера . Однак незрозуміло, у чому полягає складність їх методу під час виконання.$x_0$

Припустимо, нам дано оракул для функції та коефіцієнта апроксимації . Яка складність часу виконання (як функція ):$g$$\epsilon>0$$n$

1. Знаходження точки такої ?$x$$|g(x)|<\epsilon$
2. Знаходження точки такою, що , коли - точка, що задовольняє ?$x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Пападімітріу показав, що версія цієї проблеми є PPAD-повною у статті, що вводить цей клас "Про складність аргументу паритету та інші неефективні докази існування" .

Його постановка проблеми така:

Борсук-Улам. Враховуючи ціле число n та машину Тюрінга, обчислюючи кожну точку з та (поверхня сфери ), функція з . Знайдіть з .$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Sidenote - багато разів, коли ви бачите тип теореми з фіксованою точкою, PPAD - це гарна здогадка про складність її пошуку ...)

Як дається оракул і що ми знаємо про ? Якщо оракул є чорною скринькою, і ми знаємо лише, що є суцільним непарним, то вже при нам може знадобитися нескінченно багато питань ...$g$$g$$n=1$

Якщо оракул дається якоюсь машиною Тюрінга, то ви розумієте, що у вашій проблемі

1. FIXP-повний,

2. PPAD-повний,

де розмір вводу - довжина . Для ознайомлення з ними див. Http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf .$\epsilon$