До якого класу складності належить задача цієї теорії чисел?

'Дано $a,b,c\in\Bbb N$ , чи існує $x,y\in\Bbb N$ , $ax^2+by=c$ ' є $\mathsf{NP}$ -комплектним.

До якого класу складності 'Враховуючи $a,b,c\in\Bbb N$ , чи належать $x,y\in\Bbb N$ , $ax^2+by^2=c$ '?

Чому перша проблема NP не є повною? Посилання були б вдячні. :)

— Michael Wehar

@MichaelWehar, Квадратичний Діофантин не завершений. Я думаю, що це навіть у Гері та Джонсона.

— Kaveh

Це AN8 у Ґарі та Джонсона, стор. 250: Мандерс та Адлеман, "Проблеми прийняття рішень для двійкової квадратики", 1978.

— Каве

Існування раціональних рішень поліноміально зводиться до факторингу, отже, в

N P \cap c o N P

$\mathrm{NP}\cap\mathrm{coNP}$ : використовуючи принцип Хассе , це означає перевірити, що символ Гільберта

(a / c, b / c)_{p} = 1

$(a/c,b/c)_p=1$ для всіх простих чисел

p ∣ 2 a b c

$p\mid2abc$ .

— Emil Jeřábek

Зауважимо , що (для будь-якого цілого числа або раціональної можливості розв'язання) ви навряд чи отримаєте що - небудь краще , ніж факторинг: вже окреме питання

(тобто чи

собою суму двох квадратів) запитує , чи всі прості числа відбуваються в з рівною кратністю, і наскільки мені відомо, невідомо, як перевірити це більш ефективно, ніж факторинг ; пор. mathoverflow.net/q/57981 .

a = b = 1

$a=b=1$

c

$c$

p \equiv 3 (\mod 4)

$p\equiv3\pmod4$

c

$c$

c

$c$

— Emil Jeřábek

Додано пізніше: Як зазначено в коментарях, верхня межа NP тривіальна, якщо a, b і c позитивні, як було задано.

Теорема 1.2 в цій роботі показує, що вирішити, чи задане рівняння діофантину у двох змінних має рішення, знаходиться в NP.

— Ману
джерело

Я не є це гарною відповіддю (це констатує очевидний).

Це, здається, відповідає на запитання, яке було задано. Якщо ви мали намір додаткові умови, вам потрібно включити їх у запитання.

— Андрас Саламон

@ AndrásSalamon, це не так, верхня межа NP здається тривіальною, коли і є неотрицательними (тому і поліноміально обмежені в , і ). Справжнє питання, чи важко для НП.

a

$a$

b

$b$

x

$x$

y

$y$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

— Kaveh

@Kaveh: так, але це не те, про що питали. Далі я припускаю, що a, b, c задаються у двійковій формі, тому x і y обмежені лише експоненціально в n?

— Андрас Саламон

@ AndrásSalamon, Їх розмір поліноміально обмежений . Як я вже казав, перебування в НП - це банально для проблеми. У статті йдеться про більш загальний випадок, про який не йдеться.

n

$n$

— Каве