Доведення нижніх меж шляхом доведення верхніх меж

Нещодавній результат складності ланцюга прориву нижньої межі Райана Вільямса забезпечує техніку доказування, яка використовує результат верхньої межі для доказування складності нижніх меж. Суреш Венкат у своїй відповіді на це питання: Чи є контрінтуїтивні результати в теоретичній інформатиці? , надав два приклади встановлення нижньої межі шляхом доведення верхньої межі.

• Які ще цікаві результати для підтвердження складності нижніх меж, які були отримані доведенням складності верхньої межі?

• Чи існує якась верхня гіпотеза, яка б означала (або )?$NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

Можна перевернути питання і запитати, які нижні межі не підтверджуються, доводячи верхню межу. Практично всі нижні межі складності зв’язку (а нижній межі алгоритму потокової передачі та нижня межа структури структури даних, що спираються на аргументи складності зв'язку) доводяться, показуючи, що протокол зв'язку може бути конструктивно перетворений на схему кодування, при цьому довжина кодування залежить від складність зв'язку протоколу та нижня межа для протоколу випливає з того, що ви не можете кодувати всі n бітових повідомлень, використовуючи n-1 біт або менше.

Нижні межі ланцюга Розборов-Смоленський працюють, показуючи, як імітувати схеми обмеженої глибини поліномами низького ступеня.

Кілька кандидатів нижніх меж, які не підтверджені верхньою межею, можуть бути теоремою про ієрархію часу (хоча, щоб отримати найточніші межі, потрібна ефективна універсальна машина твердження, що є нетривіальним алгоритмічним завданням) та доказ нижньої межі AC0 за допомогою лемми перемикання (але найчистішим доказом леми перемикання є підрахунок / нестислимість / складність Колмогорова)

Дивно, сама теорема PCP є хорошим прикладом доведення нижньої межі через верхню межу. "Ефективна" рандомізована стратегія перевірки доказів за допомогою постійної кількості зондів доказів і лише випадкових бітів призводить до нижньої межі для наближення кількості задоволених пропозицій в екземплярі 3SAT.$\log n$

Метод несприйнятливості - це метод, заснований на складності Колмогорова для доведення нижчих меж. Одним із перших застосувань цього методу було довести, що для розпізнавання паліндромів на машині Тьюрінга однією стрічкою потрібен квадратичний час.

Ідеально кажучи, ідея цього методу полягає в описі процедури пошуку вхідних даних, використовуючи інформацію, що міститься в ході алгоритму, що вирішує задачу, яку ми розглядаємо на цьому вході. Чим краще процедура, тим вище нижня межа оригінальної проблеми.

Звичайно, докладні відомості можна знайти в підручнику Лі та Вітанія .

Для питання "нижня межа через верхню межу" ви задали:

У документі STOC 2010 "Як стиснути інтерактивну комунікацію" [BBCR10] з'являється вдосконалена теорема прямої суми для рандомізованої складності зв'язку, демонструючи вдосконалений протокол стиснення для інтерактивного спілкування.

Зокрема, з огляду на те, що дві сторони, які обчислюють якусь спільну функцію їх взаємних вкладів (тобто сценарій інтерактивних обчислень), вони показують, що будь-який протокол, який передає біти та виявляє I біти нової інформації для залучених сторін, може бути змодельований новим протоколом за допомогою ˜ О ( $C$$I$біти - поліпшена верхня межа.$\tilde O(\sqrt{CI})$

Як наслідок цього покращеного стиснення протоколу, вони показують, що в гіршому випадку: Враховуючи будь-яку функцію яка вимагає n часу для індивідуального обчислення, для обчислення k копій f потрібно щонайменше $f$$n$$k$$f$час - покращена нижня межа.$\sqrt{k} \cdot n$

Це якимось чином відрізняється від того, про що ви запитували, але оскільки це пов’язано, я думав, що можу це згадати.

Carter & Wegman (1977) ввели поняття універсального хешування . Поняття було використано у численних працях ( Сіпсер (1983) , Стокмейер (1983) , Бабай (1985) , Голдвассер і Сіпсер (1986) ) для доведення приблизних нижчих меж .

Це було до 1987 року, коли Fortnow використовував універсальний хеш для доведення приблизних верхніх меж . (Насправді, щоб створити протокол для доведення приблизних верхніх меж.)

Редагувати:

Це не нижчі межі результатів, але вони можуть бути корисні в будь-якому випадку:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

$P\ne NP$

$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

$P \ne NP$

Ось приклад з обчислювальної складності: сучасний підхід Арори та Барака (стор. 128):

$EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$