Чи нескінченний графік діагоналей має нескінченну складову?

14

Припустимо, ми з'єднаємо точки за допомогою набору непрямих ребер таким чином, що або з'єднано з , або з'єднаний з , незалежно і рівномірно випадково для всіх . $V = \mathbb{Z}^2$ $E$ $(i, j)$ $(i + 1, j + 1)$ $(i + 1, j)$ $(i, j + 1)$ $i, j$

(Натхненний назвою та обкладинкою цієї книги .)

Яка ймовірність того, що цей графік має нескінченно великий зв’язаний компонент? Аналогічно розглянемо , доповнення планарного вбудовування графіка. Яка ймовірність того, що комплемент має нескінченно пов'язаний компонент? $\mathbb{R}^2 \setminus G$

Ясна річ, якщо всі діагоналі вказують однаково, і графік, і його доповнення мають нескінченну складову. Як щодо єдиного випадкового графіка вищевказаного виду?

graph-theory

— Матіас Рав
джерело

2

AFAICS, подвійний графік будь-якого плоского графа пов'язаний, тож справді ваше друге питання, чи є подвійний графік нескінченним? Або ви говорите про інше поняття подвійних графіків?

— Emil Jeřábek 3.0

2

Що стосується скінченності: хоча на ілюстрації, що надихає це питання, помітно відсутні цикли, очікуване число нескінченне (для кожного

, ребра у квадратиках

утворюють цикл з ймовірністю

i, j

$i,j$

(2 i, 2 j), (2 i, 2 j + 1), (2 i + 1, 2 j), (2 i + 1, 2 j + 1)

$(2i,2j),(2i,2j+1),(2i+1,2j),(2i+1,2j+1)$

, незалежно).

1 / 16

$1/16$

— Клаус Драгер

@ EmilJeřábek Вибачте, я не маю на увазі подвійний у класичному розумінні - я відредагував, щоб уточнити, що я маю на увазі доповнення до планарного вбудовування.

— Матіас Рав

9

Ймовірність дорівнює 0.

Це випливає з наступної теореми (див. Теорему 5.33 у ймовірності Гріммета на графіках, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

Теорема Розглянемо просвіт зв’язку на , де кожне ребро між точками решітки відкрито з ймовірністю $\mathbb Z^2$ . Ймовірність того, що джерело знаходиться в нескінченно пов'язаному компоненті, дорівнює 0. $\frac12$

Ми можемо зменшити від нашої проблеми цю проблему: в основному це всього лише 2 роз'єднані (але залежні) копії проникнення облігацій на . Розглянемо конфігурацію де краї утворюють нескінченну решітку алмазів, що містять початок. Якщо перевернути всі ребра, ми отримаємо ще одну нескінченну решітку алмазів . Розглянемо перетин фактичної конфігурації з та з . Кожне з них є саме моделлю проникнення зв’язку на , щойно повертається на . Ймовірність того, що будь-яка точка знаходиться в нескінченному скупченні, значить, 0 (немає ребра в $\mathbb Z^2$ $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$ $\mathbb Z^2$ $45^{\circ}$ $D_1$ можна з'єднати з ребром у ). $D_2$

На закінчення зауважимо, що сума чисельної кількості подій з вірогідністю 0 має ймовірність 0; сума над ймовірністю того, що будь-яка точка решітки знаходиться у нескінченному скупченні.

(Існування довільно великих компонентів - це червона оселедець. Потрібно зафіксувати крапку і запитати, чи є вона в безмежному компоненті.)

— Холден Лі
джерело

Якщо ми зафіксуємо джерело і запитаємо, чи воно не є безмежним компонентом, то ми можемо знехтувати всі ребра в

і ми залишимося з одним екземпляром переколювання зв’язку на

з ребрами в

. Корисна ілюстрація - Болобаш та Ріордан 2008, малюнок 2 , повернуті на 45 градусів.

D_{2}

$D_2$

Z^{2}

$\mathbb{Z}^2$

D_{1}

$D_1$

— Матіас Рав

2

Хм, ну ось перша спроба. Давайте спостерігатимемо дві важливі речі:

Якщо цей графік має нескінченно великий зв’язаний компонент, за лемімою нескінченності Кеніга, він має нескінченний простий шлях.
Подія, коли графік має нескінченний простий шлях, не залежить від кожного окремого вибору орієнтації ребер (і, отже, від кожного кінцевого набору варіантів ребер). Тому це хвоста подія, і згідно з нульовим законом Колмогорова, ймовірність дорівнює нулю або одиниці.

Отже, це нуль чи один? Це не відразу зрозуміло, хоча ми можемо здогадуватися, оскільки, згідно з теоремою "нескінченних мавп друкарськими машинками", цей графік містить прості шляхи довільно великої довжини з вірогідністю. Звичайно, потрібно більше, щоб жорстко довести, що він насправді має нескінченний шлях з вірогідністю один.

— Джо Бебель
джерело

3

Добре також дотримуватися 0. Подія, коли граф має нескінченно пов'язаний компонент, є Борелем, отже, вимірюваною, тому питання має сенс в першу чергу. (Це не очевидно, коли

— перезавантажуються

1

Ось кілька слабких емпіричних доказів того, що відповідь - так. Нехай - випадковий графік на решітці визначений шляхом вибору кожної діагоналі випадковим чином. Ось графік оцінки ймовірності доступності порівняно з (ігнорування вершин, які завжди недоступні через паритет). $G_n$ $2n+1 \times 2n+1$ $n$

Якщо розмістити квадрат до , схоже, ймовірність збігається до гладкої функції, незалежної від масштабу, що означатиме ще більше: що ймовірність початку джерела нескінченності позитивна. $[0,1]^2$

Однак можливо також, що я не прорахував досить далеко, щоб побачити тенденцію до зменшення ( графік здається трохи меншим, ніж інші). $n = 800$

Код тут: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

— Джеффрі Ірвінг
джерело

1

Оновлення: Як зазначалося в коментарях, лема не передбачає нескінченних шляхів врешті-решт, тому ця відповідь у цілому неправильна. Не впевнений, чи можна його використовувати іншим імовірнісним способом.

Відповідь - так: існує нескінченний шлях. Дійсно, для кожного такого графа існує нескінченний шлях ; ймовірність не потрібна.

$G$ $n \times n$ $n \ge 2$

$G$

Якщо лема правдива, нескінченна версія випливає з Кеніга, як зазначає Джо. ( Оновлення: Неправильно, дивіться коментарі)

— Джеффрі Ірвінг
джерело

2

(- n, 0)

$(-n, 0)$

(0, n)

$(0, n)$

(0, n)

$(0, n)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(- n, 0)

$(-n, 0)$

n > 0

$n > 0$

Дуже правда, Кеніг не застосовується зрештою.

— Джеффрі Ірвінг

2

Зокрема, я вважаю, що лема все ще зберігається, але, звичайно, не означає бажаного результату.

— Джеффрі Ірвінг