Мінімальний еквівалентний диграф щодо джерел та раковин

З огляду на ДАГ (орієнтований ациклічний граф) , з джерелом і раковини . Знайдіть DAG з джерелами і раковинами з мінімальною кількістю ребер таким чином: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Для всіх пар існує шлях від до в якщо і тільки якщо є шлях від до в . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Одне з цих застосувань - це представлення сімейства наборів DAG. Для такого подання кожне джерело є змінною у Всесвіті, і кожна раковина - це множина в наборі сімейств, а елемент u - у множині S, якщо і лише якщо є шлях від вершини, що представляє u, до вершини, що представляє набір S.

Чи відома ця проблема? Чи існує поліноміальний алгоритм цієї проблеми?

graph-theory graph-algorithms

— Мартін Ватшелле
джерело

Я думаю, що рішення повинно бути підграфом оригінального графіка, правда? Якщо так, я думаю, що ця проблема охоплює Set Cover, завдяки стандартному зменшенню, яке показує дерево спрямованого Штайнера, важко: створити вершину для кожного елемента, вершину для кожного набору та спрямований край (S, u), якщо множина S містить елемент u. Потім додайте нову вершину та ребра з неї до всіх встановлених вершин. Існує шлях від цієї нової вершини до всіх раковин (вершин елемента). Для того, щоб зберегти їх усі, нам потрібно вибрати мінімальну кількість встановлених вершин, яка охоплює всі елементи.

— Майкл Лампіс

Ні, загалом я б сказав, що це не повинен бути підграфом оригінального графіка. Джерела - це елементи, і вам потрібен елемент, якщо і лише тоді, коли якийсь набір містить цей елемент. Раковини - це набори, і ви не можете видалити набори, які ви повинні представляти, тому єдине, що можна зробити, якщо починати з наївного графіка, де всі вузли є або потоками, або джерелами, - додавати вершини та переміщувати / видаляти краї.

— Мартін Ватшелле

Проблема ще не здається чітко визначеною. Які обмеження для набору вершин

? Чи потрібно вам, щоб набір вершин

був таким самим, як множина вершин

? Що джерела і раковини

такі ж, як джерела і раковини

? Що є функція

відображення вершини

до вершини

, і умова насправді полягає в тому, що існує шлях від

до

iff, що є шлях від

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

до

? Кожен може призвести до дещо іншої проблеми. Відредагувати питання, щоб уточнити?

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$

— DW

Я уточнив питання, адже я маю на увазі, що джерела і раковини однакові. Я думаю, що відображення досить близьке до одного і того ж, єдиний спосіб, коли можна було би відобразити два раковини на один і той же вузол, якщо вони доступні з одного і того ж набору джерел, тобто представляють один і той же набір. Єдиний спосіб, як два джерела можна було б зіставити на один і той же вузол, якщо вони досягають абсолютно однакових раковин. Тому я думаю, що після простої попередньої обробки D проблеми будуть рівнозначними.

— Мартін Ватшелль

Даг D насправді не має значення для проблеми, чи не так? Ви також можете взяти двосторонній графік між S і T як вхідний.

— Emil Jeřábek

Припустимо, що містить лише джерела та раковини, оскільки введення можна легко перевести на еквівалентний такий вхід. $D$

$D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

$D'$ $G$ $D'$ $G$

Зауважте, навіть якщо моя гіпотеза дотримується, технічно цей аргумент не доводить твердості вашої проблеми, оскільки скорочення не є скороченням Карпа, а Кука.

— igel
джерело