Чи все ще відкрито визначати складність обчислення широти ширини плоских графіків?

Для константи можна визначити за лінійним часом, задавши вхідний графік , чи ширина його ширини дорівнює . Однак, коли і і задані як вхідні дані, проблема є важкою для NP. ( Джерело ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Однак, коли графік введення планарний , про складність здається значно менше. Проблема, очевидно, була відкрита в 2010 році, претензія, яка також з’явилася в цьому опитуванні в 2007 році та на сторінці Вікіпедії для декомпозицій філій . І навпаки, проблема заявлена як NP-жорстка (без підтвердження посилання) в більш ранній версії згаданого раніше опитування, але я припускаю, що це помилка.

Чи все ще відкрито визначати складність задачі, задаючи та плоский графік , визначення має ширину ширини ? Якщо це так, чи це було заявлено в недавньому документі? Чи відомі якісь часткові результати? Якщо це не так, хто це вирішив? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
джерело

Цікаве запитання, ура для перезавантаження опитування. Я вважаю, що першоджерелом для доказу лінійного часу є Бодлендер, але постійний фактор, прихований нотацією асимптотичної складності, величезний. Можливо, цікавим відхиленням / розширенням вашого питання було б, чи допускає площинне обмеження більш практичний постійний фактор у цьому контексті?

— Fasermaler

Я думаю, що це "відома і стара проблема", тому якщо ви не знайдете паперу, це, ймовірно, все ще відкрита проблема. Інші "докази": Лекція з курсу " Алгоритми графіка, програми та реалізація" (2015), лекція з курсу " Графіки та алгоритми": "Розширені теми" (2014), " Енциклопедія алгоритмів" (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Це можна наблизити до постійного коефіцієнта (3/2), використовуючи той факт, що він і ширина гілки знаходяться в межах постійної одна від одної, а площинна ширина гілки може бути обчислена в поліноміальний час. Крім того, його можна приблизно визначити в журналі для всіх графіків за допомогою Лейтона – Рао; дивіться kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— Девід

@Fasermaler перший крок алгоритму Бодлендера (і попередніх алгоритмів, які були FPT, але не лінійним часом) - обчислити приблизну декомпозицію дерева, на якій можна використовувати динамічне програмування, щоб знайти оптимальне розкладання. Чим щільніше наближення, тим швидше буде другий крок. Тож той факт, що більш жорсткі наближення до плоскої ширини ширини можна знайти за допомогою ширини відгалуження, мабуть, може призвести до кращої залежності від параметра (за рахунок повернення до полінома від лінійного). Але я не знаю паперів, які це ретельно аналізують.

— Девід Еппштейн

Щодо проблеми наближення ширини.

-аппроксімація для знаходження розрідженого / збалансованого вузол-роздільників дадуть

-аппроксімація для деревної ширина. Таким чином, у загальних графах ми отримаємо

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

через ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi та

у планарних та належних неповнолітніх закритих сім'ях. Для загальних графіків можна отримати

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

де

- ширина ширини.

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Чандра Чекурі

Наскільки я знаю, NP-повнота обчислення широти ширини плоского графа все ще відкрита. Найсвіжіша інформація, яку я знаю, - це опитування Бодлендера з 2012 року під назвою "Фіксований параметр простежуваності ширини та ширини шляху", який з'явився у фестивалі "65 днів народження Майка". Проблема вказана у висновку опитування.

— Барт Янсен
джерело

Спасибі! (І дякую також @MarzioDeBiasi за те, що він запропонував інші посилання.) Щось із цікавості, хтось теж дізнається, коли проблема вперше поставлена?

— a3nm