Перевірка еквівалентності двох політопів

14

Розглянемо вектор змінних та набір лінійних обмежень, визначених . $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

Крім того, розглянемо два політопи

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

де 'і ' s - афінічні відображення. А саме вони мають форму . (Зауважимо, що і є політопами, оскільки вони є "афінними відображеннями" політопа .) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

Питання в тому, як вирішити, чи і рівні, як множини? У чому складність? $P_1$ $P_2$

Мотивація проблеми - від сенсорних мереж, але, здається, це прекрасна (можливо, основна?) Проблема геометрії. Це можна вирішити в експедиції, можливо, перерахувавши всі вершини і , але чи є кращий підхід? $P_1$ $P_2$

— маомао
джерело

2

Що ви маєте на увазі під рівнозначними двома політопами? Мені одразу приходять три інтерпретації: рівне як множини, афінно рівнозначне та комбінаторіально рівнозначне. Два існуючих відповіді передбачають різні інтерпретації.

— Цуйосі Іто

Я маю на увазі рівне, як множини.

— maomao

Будь ласка, відредагуйте питання, щоб включити це пояснення. Не залишайте це просто в коментарях. Питання повинні бути самостійними: люди не повинні читати коментарі, щоб зрозуміти, що ви запитуєте. Дякую.

— DW

12

Не можу сказати точно, чи будете ви вважати наступний підхід кращим, але з теоретично-теоретичної точки зору є більш ефективним рішенням. Ідея полягає в переформулюванні свого питання в теорії раціонального першого порядку з додаванням і порядком. Ви маєте на що включений до тоді і лише тоді, коли $P_1$ $P_2$ є дійсним. Зрозуміло, як вивести еквівалентністьіоднаково. Тепермає фіксований префікс кількісного визначення та чергування, і, отже, він може бути вирішений у, другому рівні ієрархії полінома-часу (Sontag, 1985

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ ). Я досить впевнений, що можна також довести відповідну нижню межу, я пам'ятаю, десь читав, що включення між двома політопами

-тверде.

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Якщо ви шукаєте підтримку інструментів для вирішення подібних проблем на практиці, сучасні SMT-розв'язувачі, такі як z3, повністю підтримують цю теорію.

— Крістоф Хааз
джерело

5

$Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— Денис Панкратов
джерело

2

Я не думаю, що цей аргумент працює - він ігнорує розмірність симплексу, задану цитованою теоремою. (x є частиною вхідних даних, тому будь-яке зменшення має бути впевнене, що воно поліноміально обмежене)

— Colin McQuillan

Гарна думка! Здається, моя вимога все-таки повинна пройти, але ми повинні проникнути всередину доказів у статті, яку я цитував. Починаючи з графіка, вони будують багатогранник, таким чином, що два графіки є ізоморфними тоді і лише тоді, коли відповідні політопи є ізоморфними. Їх багатогранники мають поліноміальну кількість вершин, і їх описи вершин можна обчислити за багаточлен. Таким чином, ми можемо взяти (A, b) симплекс в розмірності, що є кількістю вершин, а f - афінною проекцією, яка дає політоп, який можна отримати з опису вершин.

— Денис Панкратов