Направлені мультиграфії як мінімальні автомати

Дано звичайну мову $L$ на алфавіті $A$, його мінімальний детермінований автомат може розглядатися як спрямований пов'язаний мультиграф з постійним перевищенням $|A|$і позначений початковий стан (забувши мітки переходів, кінцевих станів). Ми зберігаємо початковий стан, оскільки кожна вершина повинна бути доступна з нього.

Чи дійсно зворотне? Тобто дається спрямований пов'язаний мультиграф$G$ з постійним вищим ступенем і початковим станом, таким чином, щоб кожна вершина була доступна з неї, чи завжди є мова $L$ такий як $G$ є основним графіком мінімального автомата $L$ ?

Наприклад, якщо $|A|=1$ це правда, оскільки графік повинен бути "ласо" з префіксом розміру $i$ і петля розміром $j$, і відповідає мінімальному автомату $L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$.

Мотивація виходить із пов'язаної з цим проблеми, що виникає при зменшенні можливостей рішення, де рішення простіше: починаючи з не орієнтованого простого графіка і допускаючи більше операцій, як додавання мийок. Але мені було цікаво, чи хтось уже подивився на це більш природне запитання?

Єдине, що я можу знайти в літературі, - це такі документи, як « Складність фарбування доріг» із заздалегідь прописаними словами «Скидання» , де метою є розфарбувати такий мультиграф, щоб в результаті автомат мав слово синхронізації. Однак мінімальність, здається, не враховується.

Оновлення : Подальше запитання після відповіді Клауса Дрігера: яка складність у визначенні того, чи має графік такої форми? Ми можемо вгадати маркування та поліноміально перевірити мінімальність автомата, тому воно є в NP, але чи можемо ми сказати більше?

Будь-який поглинаючий вузол $n$ доведеться або приймати, чи ні (так що один раз все або нічого не приймається) $n$вводиться). Якщо на графіку є більше двох поглинаючих вузлів, то деякі з них виявляться еквівалентними для будь-якого вибору набору міток та прийняття.

Більш загально, для будь-якого сильно пов'язаного графіка $H$ є лише кінцеве число $n(H)$різного можливого маркування та прийняття наборів; якщо ваш графік має більше$n(H)$ термінал сильно підключений компоненти, еквівалентні $H$ (скажімо, прикріплені до листя дерева, скажімо), воно не може відповідати жодному мінімальному автомату.

EDIT щодо подальшого запитання: Це звучить складно. Один із підходів, запропонованих моїм аргументом, може виглядати так:

• Перегородка $G$в ДКК. Це дешево;$O(|V|+|E|)$ використовуючи алгоритм Таряна.
• Сортуйте SCC за класами ізоморфізму. На жаль, як відомо, не існує графічного ізоморфізму$P$.
• Для кожного класу термінальних ізоморфізмів визначте кількість допустимих відповідних суб-автоматів і відмовте, якщо їх недостатньо. Зауважте, що не кожна комбінація прийняття підмножини та маркування крайових припустима: наприклад, припустимо, що це наш алфавіт$\{a,b\}$, а компонент має два вузли, кожен з яких має певний цикл і край до іншого вузла. Створення обох вузлів, що приймають і мітять обидві петлі за допомогою$a$ (а інші ребра з $b$) дає автомат, подібний до одного поглинаючого стану, порушуючи мінімальність.
• Аналогічно поводьтеся з рештою SCC у DAG, враховуючи нижні; Я трохи нечіткий щодо деталей цієї частини.

Це один крок, складність якого є чудово відкритим, і інший, схожий на це, може зажадати експоненціального часу (оскільки може бути експоненціально багато розділів на класи подібності, щоб виключити при визначенні допустимих автоматів). Чи можемо ми зробити краще?