Гек, як вказували Ленс і Робін, у нас є оракули, щодо яких PH не є в ПП. Але це не відповідає на ваше запитання, якою була ситуація в "реальному" (нереалізованому) світі!
Коротка відповідь полягає в тому, що (як і багато іншого в теорії складності) ми не знаємо.
Але довша відповідь полягає в тому, що є дуже вагомі причини для того, щоб припустити, що це дійсно PH ⊆ PP.
По-перше, теорема Тоди має на увазі PH ⊆ BP.PP, де BP.PP - клас складності, який „є PP, як BPP - це P“ (іншими словами, PP, де ви можете використовувати рандомізацію, щоб визначити, яку обчислення ОСНОВНОСТІ ви хочете зробити виконувати). По-друге, під правдоподібними гіпотезами про дерандомізацію (подібні до тих, які, як відомо, означають P = BPP, Нісан-Вігдерсон, Імпальязцо-Вігдерсон тощо), ми мали б PP = BP.PP.
Додаток для вирішення інших ваших питань:
(1) Я б сказав, що ми не маємо переконливої інтуїції в будь-якому випадку щодо питання, чи PP = P PP . Ми знаємо, що за результатами Бейгеля-Рейнгольда-Шпільмана та Фортноу-Рейнгольда, ПП закривається в умовах неадаптивних скорочень (таблиця правдивості). Іншими словами, машина P, яка може робити паралельні запити до PP oracle, не є більш потужною, ніж сама ПП. Але той факт, що ці результати повністю руйнуються для адаптивних (непаралельних) запитів до PP oracle, говорить про те, що, можливо, останні є справді більш потужними.
(2) Крім того, НП ПП і CONP PP може бути ще потужнішим , ніж P PP . І PP PP може бути ще більш потужним тощо. Послідовність P, PP, P PP , PP PP , P PP ^ PP і т.д. називається ієрархією підрахунку , і так само, як люди здогадуються, що PH нескінченний, тож теж можна припустити (хоча можливо з меншою впевненістю!), Що CH є нескінченним. Це тісно пов'язане з думкою, що в порігових ланцюгах постійної глибини (тобто нейронних мереж) додавання більше шарів порогових воріт дає більше обчислювальної потужності.