Давши вільний графік

Проблема $k$ -cycle полягає в наступному:

Екземпляр: Непрямий графік $G$ з $n$ вершинами і до ребра. $n \choose 2$

Питання: Чи існує (правильний) -цикл у ? $k$ $G$

Передумови: Для будь-якого фіксованого ми можемо вирішити -цикл за . $k$ $2k$ $O(n^2)$

Рафаель Юстер, Урі Цвік: Шукати навіть цикли ще швидше. SIAM J.
Дискретна математика. 10 (2): 209-222 (1997)

Однак невідомо, чи вдасться ми вирішити 3-цикльний (тобто 3-клічний) за менший час множення матриці.

Моє запитання: якщо припустити, що не містить 4-циклів, чи можемо ми вирішити задачу 3-циклу за час ? $G$ $O(n^2)$

Девід запропонував підхід до вирішення цього варіанту задачі 3 циклу за час . $O(n^{2.111})$

— Майкл Вехар
джерело

Здається, що якщо найменший цикл графа має довжину щонайменше 5, то він має максимум

G

$G$

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$ ребер. Посилання: link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638

— Michael Wehar

Додаткову інформацію можна знайти в цій статті: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121

— Michael Wehar

Я думаю, що вас також можуть зацікавити Айзенбранд, Фрідріх та Фабріціо Грандоні. "Про складність кліки фіксованого параметра та домінуючого набору." Теоретичні інформатики 326.1 (2004): 57-67. (Якщо ви цього ще не знали).

— Juho

Відповіді:

Так, це відомо. Він з'являється в одному з обов'язкових посилань на пошук трикутника ...

А саме, Itai і Rodeh показують у SICOMP 1978, як за час знайти цикл у графіку, який має щонайменше на один край, ніж цикл мінімальної довжини. (Див. Перші три пропозиції реферату тут: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) Це проста процедура, заснована на властивостях ширини-першої. пошук. $O(n^2)$

Отже, якщо ваш графік не містить 4 циклів і є трикутник, їх алгоритм повинен виводити його, оскільки він не може вивести 5-цикльний або більше.

— Райан Вільямс
джерело

Це не квадратично, але Алон Юстер та Цвік ("Пошук і підрахунок заданих циклів довжин", Algorithmica 1997) дають алгоритм пошуку трикутників у часі , де - показник швидкості матричне множення. Для 4-циклу вільних графіків, закупорка в і (тобто - цикл , незалежно від наявності $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$ $\omega$ $\omega<2.373$ $m=O(n^{3/2})$ $4$ $3$ - циклів) дає час . $O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

— Девід Еппштейн
джерело

Це чудово! Я дійсно ціную це. :)

— Michael Wehar

Так, якщо на графіку немає 4-циклів, то він має максимум

ребра. Посилання:books.google.com/…

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— Michael Wehar

Не соромтеся виправити мене, якщо я помиляюся. Здається, що "Теорема рівномірного кола" Ердоса говорить, що якщо графік

-цикл вільний, то він має максимум

2 k

$2k$

ребра. Посилання:sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073

O (n^{1 + \frac{1}{k}})

$O(n^{1+\frac{1}{k}})$

— Майкл Wehar

Як результат, якщо графік не має 6 циклів, то він має максимум

ребра. Отже, ми можемо визначити, чи має він 3-цикл за

часу, використовуючи метод, який запропонував Девід. :)

O (n^{\frac{4}{3}})

$O(n^{\frac{4}{3}})$

O (n^{1.876})

$O(n^{1.876})$

— Michael Wehar

Крім того, при будь-якому фіксованому

, якщо

-Цикли вільний, то ми можемо визначити , якщо

має 3-цикл в subquadratic часу , тому що

не має занадто багато ребер. Однак, коли

, тоді речі стають цікавими. Чи можемо ми перемогти

k > 2

$k > 2$

G

$G$

2 k

$2k$

G

$G$

G

$G$

k = 2

$k = 2$

O (n^{2.111})

$O(n^{2.111})$

— Michael Wehar