проти

Центральною проблемою теорії складності є, мабуть, проти . $P$ $NP$

Однак, оскільки природа є квантовою, здавалося б, більш природним вважати класи (тобто проблеми вирішення, які вирішуються квантовим комп'ютером у поліноміальний час, з ймовірністю помилок 1/3 для всіх випадків) та (квантовий еквівалент з ) замість цього. $BQP$ $QMA$ $NP$

Мої запитання:

1) Чи буде чи рішення для проти завдання дають рішення проти ? $P$ $NP$ $BQP$ $QMA$

2) У трьох бар'єрів релятивизации, природні докази і algebrization також застосовні до проти проблеми? $BQP$ $QMA$

cc.complexity-theory complexity-classes quantum-computing

— Ентоні Левер'є
джерело

1) В жодному напрямку не відомо жодних наслідків. Ми знаємо, що P = NP означає P = PH. Але ми не знаємо, чи BQP і QMA знаходяться в PH, тому, можливо, P може дорівнювати NP, але BQP і QMA все одно не руйнуються. (З іншого боку, зауважте, що QMA⊆PP⊆P ^#P , тому, безумовно, P = P ^#P означатиме BQP = QMA.) Показати, що BQP = QMA означає, що P = NP, виглядає ще більш безнадійним у сучасному стані знань .

2) Абсолютно, всі три бар'єри застосовуються з повною силою до BQP проти QMA (і навіть до "легшої" проблеми доведення P ≠ PSPACE). По-перше, стосовно оракула PSPACE (або навіть низького ступеня розширення оракула PSPACE) ми маємо

P = NP = BQP = QMA = PSPACE,

тому, безумовно, потрібні нерелятивізуючі та неагебризуючі методи для розділення будь-якого з цих класів. По-друге, щоб отримати бар'єр із природних доказів для розміщення матеріалів поза BQP, все, що вам потрібно, це сімейство псевдовипадкових функцій, яке можна обчислити в BQP, що є формально слабшою вимогою, ніж сім'я псевдовипадкових функцій, обчислена в P.

Додаток: Дозвольте сказати щось про «метакітизацію», яку ви не запитували, але натякнули, чому люди все ще зосереджуються на П проти НП, хоча ми вважаємо, що природа є квантовою. Особисто я завжди бачив P проти NP як не що інше, як «флагман» для цілого ряду бар’єрних питань в теорії складності (P vs. PSPACE, P vs. BQP, NP vs. coNP, NP vs. BQP, існування односторонніх функцій тощо), жоднихна який ми знаємо, як відповісти, і всі вони пов'язані в тому сенсі, що будь-який прорив з одним, швидше за все, призведе до проривів з іншими (навіть там, коли ми не маємо формальних наслідків між питаннями, які в багатьох випадках ми робити). P vs. NP не є принципово більш фундаментальним, ніж будь-який з інших - але якщо нам доведеться вибрати одне питання, яке слугуватиме дитині-плакату для складності, то це чудовий вибір.

— Скотт Ааронсон
джерело

Привіт Скотт, велике спасибі за цю чудову відповідь! І ваш додаток стосується саме того, що я мав на увазі.

— Ентоні Левер'є

Я припускаю, що важливість P проти NP, як "флагманської" проблеми теорії складності, вказує щось про історію теорії обчислення. Після логіків, здається, були комбінатористи, які переслідували цю тему з найбільшим інтересом. Можливо, якби теорія складності була розроблена натомість теоретиками операторів, важливою проблемою "твердості" була б не булева задоволеність, 3-забарвлення чи проблема мандрівного продавця, а проблема визначення того, чи є сума k-локальних позитивних напівфіксичних операторів є позитивним певним. (Що, звичайно, k-QSAT.)

— Ніль де Бодорап

Так, я гадаю, що поки потрібні нові методи для будь-якої подібної проблеми (P vs NP, BQP vs QMA тощо), це не завадить зосередитися на одній конкретній проблемі.

— Ентоні Левер'є

Побічний коментар - якщо ви розглядаєте квантові обчислення як своє визначення можливих обчислень, ви, мабуть, розглядаєте BQP проти NP як центральне питання, а не BQP проти QMA. Причина полягає в тому, що NP все ще захоплює величезну частину питань, які ми хочемо вирішити (або хочемо залишатися важкими для криптовалюти), незалежно від того, намагаємось ми їх вирішити за допомогою класичного чи квантового комп'ютера.

— Боаз Барак

@Boaz - Як ви вважаєте, проблеми НП суттєво актуальніші, ніж проблеми QMA, чи це наразі так, тому що ми звикли думати з точки зору класичних проблем, ніж квантові?

— Ентоні Левер'є